Come funzionano le dimostrazioni per assurdo?

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Come funzionano le dimostrazioni per assurdo? #209

avt
jiulietta
Punto
Salve a tutti, spero mi aiuterete a capire queste dimostrazioni per assurdo.

Quest'anno ci stiamo occupando di geometria precisamente delle dimostrazioni per assurdo..ma non riesco a capire il procedimento.

Come funzionano le dimostrazioni per assurdo?

Purtroppo la mia prof e il mio libro non si esprimono chiaramente di conseguenza cerco di documentarmi piu che posso, ma senza successo. Chiedo a voi utenti magari piu grandi, che in passato vi siete occupati di questo argomento, di potermi spiegare il funzionamento delle dimostrazioni per assurdo.

Vi ringrazio in anticipo, un bacio Giulia.
 
 

Come funzionano le dimostrazioni per assurdo? #243

avt
Omega
Amministratore
Ciao Jiulietta,

cerchiamo di fare chiarezza. Innanzitutto ti consiglio, prima o dopo, di leggere il nostro approfondimento sulla nozione di teorema e sui tipi di dimostrazione.

Normalmente, in una dimostrazione diretta abbiamo delle ipotesi di partenza e arriviamo alla tesi partendo direttamente da esse.

Disponiamo di ipotesi e tesi anche quando vogliamo dimostrare un teorema per assurdo. La differenza rispetto alle dimostrazioni dirette è che, in una dimostrazione per assurdo:

- il procedimento prevede di considerare valide tutte le ipotesi e supporre che la tesi non sia vera (negazione della tesi);

- l'obbiettivo è arrivare ad una contraddizione con una o più ipotesi.

Intanto non confondiamo dimostrazione ed enunciato: l'enunciato è sempre lo stesso, indipendentemente da come lo dimostri. Puoi invece scegliere, a seconda dei casi, di usare un metodo dimostrativo piuttosto che un altro.

Un esempio a parole spicciole: abbiamo un enunciato per il quale se vale Tizio (ipotesi) allora vale Caio (tesi).

In una dimostrazione diretta parti da Tizio per arrivare a Caio, e tutto il procedimento dimostrativo va fatto seguendo questa via.

In una dimostrazione per assurdo dimostri che se vale tizio (ipotesi) e se non vale Caio (ipotesi d'assurdo) allora si cade necessariamente in contraddizione con l'ipotesi vale tizio (contraddizione).

In sintesi lo scopo delle dimostrazioni per assurdo è mostrare che, partendo da "vale Tizio + non vale Caio" arrivi necessariamente a "non vale Tizio", ossia una contraddizione con l'ipotesi "vale Tizio". In una parola: un assurdo.

Dimostrando che "ipotesi + negazione della tesi" implica una contraddizione con l'ipotesi, si conclude che la tesi deve necessariamente valere e dunque l'enunciato del teorema è dimostrato.

Molto importante

È errore comune confondere la dimostrazione per assurdo con la dimostrazione contronominale.

In una dimostrazione contronominale neghi la tesi tralasciando l'ipotesi per giungere alla negazione dell'ipotesi (è il procedimento inverso della dimostrazione diretta).

In una dimostrazione per assurdo neghi la tesi continuando a far valere l'ipotesi per giungere anche a una negazione dell'ipotesi.

La tecnica di dimostrazione contronominale consiste nel partire dalla negazione della tesi per arrivare alla negazione dell'ipotesi, e non a una contraddizione con l'ipotesi.
Ringraziano: TeQuila., Medison97, Yojok, XxWolfxX
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Os