Risolvere un problema d'urna con palline di due colori diversi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Risolvere un problema d'urna con palline di due colori diversi #1974

avt
margot
Frattale
Vi propongo un problema d'urna sull'estrazione di 5 palline da un'urna che ne contiene 12 di due colori diversi. Questo genere di problemi mi hanno sempre creato molte difficoltà, quindi vi chiedo una spiegazione semplice e chiara.

Un'urna è composta da 12 palline, di cui 5 bianche e 7 nere. Si estraggono 5 palline in blocco. Calcolare la probabilità di estrarre 3 palline bianche e 2 palline nere.
 
 

Risolvere un problema d'urna con palline di due colori diversi #2009

avt
Omega
Amministratore
Da un'urna che contiene 5 palline bianche e 7 palline nere vengono estratte cinque palline in blocco. Dobbiamo calcolare la probabilità che tra le palline estratte vi siano 3 palline bianche e 2 palline nere.

Consideriamo l'esperimento casuale dato dall'estrazione in blocco di cinque palline dall'urna, che si può supporre essere un esperimento equo.

Inoltre i risultati possibili sono in numero finito, dunque per calcolare la probabilità dell'evento E "si estraggono 3 palline bianche e 2 palline nere" possiamo usare la formula classica, ossia dividere il numero di casi favorevoli per e per il numero di casi possibili

\mathbb{P}(E)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli}}{\# \mbox{ casi possibili}}


Calcolo del numero di casi possibili

Il numero di casi possibili corrisponde al numero di modi in cui 5 palline possono essere estratte da un'urna che contiene 12 palline.

Poiché l'estrazione avviene in blocco:

- le 5 palline vengono estratte tutte insieme, dunque non vi alcun ordine di estrazione;

- in ogni singola estrazione delle 5 palline non può apparire più volte una stessa pallina (cosa che potrebbe accadere se l'estrazione non fosse in blocco e fosse con reintegro).

Possiamo allora asserire che il numero di casi possibili è uguale al numero di combinazioni semplici di classe 5 di 12 elementi distinti.

Per calcolare quante sono scriviamo la formula generale delle combinazioni semplici

C_{n,k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

dove n!,k! e (n-k)! indicano, rispettivamente, i fattoriali di n,k e di n-k.

Sostituiamo n=12 e k=5:

\\ \# \mbox{ casi possibili} = C_{12,5}=\frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}= \\ \\ \\ = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5! \cdot 7!} = \frac{95 \ 040}{120}=792

In definitiva i casi possibili sono 792.


Calcolo del numero di casi favorevoli

Il numero di casi favorevoli per il verificarsi dell'evento E "si estraggono 3 palline bianche e 2 palline nere" sono

\# \mbox{ casi favorevoli} = C_{5,3} \cdot C_{7,2}=10 \cdot 21 = 210

dove:

- C_{5,3} indica il numero di modi in cui 3 palline bianche possono essere estratte in blocco dal gruppo delle 5 palline bianche contenute nell'urna;

- C_{7,2} indica il numero di modi in cui 2 palline nere possono essere estratte in blocco dal gruppo delle 7 palline nere contenute nell'urna.


Probabilità di ottenere 3 palline bianche e 2 palline nere

Per concludere calcoliamo il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili

\mathbb{P}(E)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli}}{\# \mbox{ casi possibili}}=\frac{210}{792}= 0,26\overline{51}

e ricaviamo che la probabilità di estrarre in blocco 3 palline bianche e 2 palline nere è uguale a circa 0,27.

Fine!
Ringraziano: frank094, margot, Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os