Cardinalità insiemi e numero di sottoinsiemi

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Cardinalità insiemi e numero di sottoinsiemi #1823

avt
Marty **Gigugin**
Punto
Salve, avrei una domanda sulla cardinalità degli insiemi e sul numero di sottoinsiemi con una certa cardinalità. Eccolo:

siano X e Y due insiemi tale che la cardinalità di X è 8 e la cardinalità di Y 6. la cardinalità della loro intersezione è 9. quanti sono i sottoinsiemi di X U Y aventi almeno 9 elementi?

Non riesco a capire se devono impostare un calcolo combinatorio dopo aver capito effettivamente, con la formula, la cardinalità dell'unione, oppure no. bhè, non so da dove partire. trovo spesso quest'esercizio nei compiti per l'esame (e la teoria neanche me lo spiega)
 
 

Cardinalità insiemi e numero di sottoinsiemi #1830

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Marty **Gigugin**
Ricontrolla per favore la traccia, è impossibile che la cardinalità dell'intersezione sia maggiore della cardinalità dei due insiemi, proprio per come è definita l'intersezione di due insiemi... emt O forse intendi altro?
Ringraziano: Omega

Cardinalità insiemi e numero di sottoinsiemi #1854

avt
Marty **Gigugin**
Punto
OPPPPSSSS pardon. errore enorme di battitura!
"Siano X e Y due insiemi tale che la cardinalità di X è 8 e la cardinalità di Y 6. la cardinalità della loro intersezione è 4. quanti sono i sottoinsiemi di X U Y aventi almeno 9 elementi?"
scusa ancora emt

Cardinalità insiemi e numero di sottoinsiemi #1866

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, bene iniziamo!

Sappiamo che


\mbox{card}(X)= 8\\ \mbox{card}(Y)= 6\\\mbox{card}(X\cap Y)= 4


Calcoliamo la cardinalità dell'insieme unione grazie alla formula:

\mbox{card}(X\cup Y)= \mbox{card}(X)+\mbox{card}(Y)-\mbox{card}(X\cap Y)= 8+6-4= 10


Ok, abbiamo quindi che nell'unione vi sono 10 elementi:

Quanti insiemi di cardinalità 9 si possono formare 10 elementi?

{10\choose 9}= \frac{10!}{9!}=10

Quanti insiemi di cardinalità 10 si possono formare 10 elementi?

Ovviamente
{10\choose 10}= \frac{10!}{10!}=1

Dunque quanti sono i sottoinsiemi di X U Y aventi almeno 9 elementi?

{10\choose 9}+{10\choose 10}=10+1= 11

Ad ogni modo in generale

Sia X un insieme di cardinalità n, il numero dei sottoinsiemi di X di cardinalità k \le n si ottiene calcolando

{n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}

in pratica si ricorre alla formula per le combinazioni semplici.

Ciao emt
Ringraziano: Omega, frank094, Marty **Gigugin**

Cardinalità insiemi e numero di sottoinsiemi #1869

avt
Marty **Gigugin**
Punto
Grazie! emt
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Os