Problema di Logica con un parallelepipedo rettangolo

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Problema di Logica con un parallelepipedo rettangolo #13151

avt
piklo
Cerchio
Ciao amici di YM! emt Sono alle prese con molti problemi di Logica di questo tipo e il meccanismo non mi è ancora molto chiaro. In questo caso il problema di Logica riguarda le facce di un parallelepipedo rettangolo.

Ho capito che, dato che il testo afferma "almeno una faccia dipinta", bisogna togliere le facce dello spigolo, ma non ho capito bene il criterio con cui si opera e con cui si levano gli altri quadratini. Vi dispiacerebbe, se non è un problema, spiegarmi passo passo i passaggi, anche se capisco i limiti che ci possono essere scrivendo e comunicando tramite due schermi. E' molto importante. emt

Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità, un saluto. emt

Un parallelepipedo misura 5 x 7 x 7 cm ed è dipinto di blu sulla superficie esterna. Se viene suddiviso in 245 cubetti di 1 cm di lato ciascuno, quanti di questi avranno almeno una faccia dipinta di blu?
 
 

Problema di Logica con un parallelepipedo rettangolo #13161

avt
Omega
Amministratore
Ciao Piklo emt

Il riferimento è a questo topic:

/forum/logica-e-probabilita/12696-problemi-logico-aritmetici.html

L'unica difficoltà dell'esercizio consiste nell'intuire proprio nell'intuire il modo con cui contare i cubettini che si trovano sugli spigoli del parallelepipedo. Considera uno spigolo di base, ad esempio.

Il trucco consiste nel capire che un cubetto che abbia uno spigolo che si trova sullo spigolo di base del parallelepipedo non contribuisce al conteggio delle facce della superficie laterale del parallelepipedo con una sola faccia, ma con due: una faccia è quella che poggia sulla superficie di base del parallelepipedo, la seconda invece è quella che si trova sulla faccia laterale del parallelepipedo.

Una volta capito ciò, si parte a contare il numero di cubetti che hanno una faccia sulla superficie di base del parallelepipedo, quindi se supponiamo di considerare come superficie di base la faccia avente entrambi i lati di 7cm

7\cdot 7=49

Passiamo ad una delle facce della superficie laterale, che quindi ha dimensioni 5cm\mbox{ altezza ; }7cm\mbox{ base}. Su questa faccia dobbiamo contare una fila in meno di cubetti, perché i cubetti che si trovano allo spigolo di base li abbiamo già contati, alla luce del ragionamento precedente. Quindi

7\cdot (5-1)=7\cdot 4=28

Poi passiamo alle due facce consecutive alla precedente che si trovano sulla superficie laterale. Qui non dobbiamo contare solamente una fila in meno (quella dello spigolo di base), ma in entrambi i casi dobbiamo contare anche una fila in meno in lunghezza, perché i cubetti che hanno uno spigolo giacente sullo spigolo laterale del parallelepipedo li abbiamo già contati. Quindi

(7-1)\cdot (5-1)=6\cdot 4=24

questo per due facce. Infine, per la quarta faccia laterale dobbiamo contare una fila in meno verticalmente e due file in meno lateralmente

(7-2)\cdot (5-1)=5\cdot 4=20

Per la superficie di base superiore, dobbiamo contare due facce in meno in entrambe le dimensioni

(7-2)\cdot (7-2)=5\cdot 5=25

e quindi in tutto

49+28+24+24+20+25=170

E' più chiaro così? emt
Ringraziano: Pi Greco, piklo

Problema di Logica con un parallelepipedo rettangolo #13283

avt
piklo
Cerchio
Sì, decisamente più chiaro. Grazie tante, davvero emt
Ringraziano: Omega

Problema di Logica con un parallelepipedo rettangolo #13359

avt
piklo
Cerchio
Ciao Omega! emt Scusa il disturbo, ma nel caso l'esercizio chiedesse il numero dei cubetti che ha dipinti almeno 2 facce? Grazie in anticipo.

Problema di Logica con un parallelepipedo rettangolo #13386

avt
Omega
Amministratore
In tal caso il ragionamento è analogo, solo che dobbiamo limitare il conteggio agli spigoli del parallelepipedo.

Disponendo il parallelepipedo in modo che la base inferiore abbia la faccia di dimensioni 7\times 7, dobbiamo limitarci a contare i cubetti con almeno due facce dipinte di blu, quindi solamente i cubetti con uno spigolino che si trova sullo spigolo del parallelepipedo.

Il problema è che dobbiamo evitare di contare i cubetti che hanno un vertice coincidente con uno dei vertici del parallelepipedo. emt

Partiamo da un lato del perimetro di base: abbiamo 7 cubetti. Passiamo ad uno dei due lati adiacenti: dobbiamo contare un cubetto in meno, quindi 6 cubetti. Lo stesso con il lato del perimetro di base opposto a quest'ultimo: 6 cubetti.

Passiamo al quarto lato di base, dove dobbiamo escludere 2 cubetti già contati, per cui 5 cubetti. Nel perimetro di base abbiamo dunque

7+6+6+5=24\mbox{ cubetti}

Passiamo agli spigoli laterali, che misurano 5cm: da ciascuno di essi dobbiamo contare un cubetto in meno (il cubetto relativo all'estremo inferiore del lato), quindi abbiamo

(5-1)+(5-1)+(5-1)+(5-1)=16\mbox{ cubetti}

Infine, per quanto riguarda la base superiore, ragioniamo come per la base inferiore solo che dobbiamo eliminare due cubetti già contati da ciascuno spigolo, quindi

(7-2)+(7-2)+(7-2)+(7-2)=20\mbox{ cubetti}

In tutto:

24+16+20=60\mbox{ cubetti}

ti torna?
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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Os