Verificare un'identità con coefficienti binomiali

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Verificare un'identità con coefficienti binomiali #101893

avt
spacemoses00
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio che chiede di verificare un'identità con coefficienti binomiali. È la prima volta che incontro un esercizio del genere e non so come muovermi.

Verificare l'identità con coefficienti binomiali che segue

binom(n)(2) = (n-1)^2-binom(n-1)(2) ∀ n ∈ N, n ≥ 1
 
 

Verificare un'identità con coefficienti binomiali #102394

avt
Galois
Amministratore
Dobbiamo dimostrare che per ogni numero naturale n maggiore-uguale a 1 vale la seguente identità con coefficienti binomiali

binom(n)(2) = (n-1)^2-binom(n-1)(2) ∀ n ∈ N, n ≥ 1

Per portare a termine l'esercizio faremo uso della formula per il calcolo del coefficiente binomiale e della definizione ricorsiva di fattoriale, dunque è bene richiamarle una volta per tutte.

Secondo la definizione ricorsiva di fattoriale, il fattoriale di un numero naturale n ∈ N è uguale:

- a 1, se n = 0;

- al prodotto tra se stesso e il fattoriale del numero naturale che lo precede, se n ≠ 0.

n! = 1 se n = 0 ; n·(n-1)! se n ∈ N, n ≠ 0

Il coefficiente binomiale n su k, con n,k ∈ N, è uguale:

- a zero, se n è minore di k;

- al rapporto tra il fattoriale di n e il prodotto tra il fattoriale di k e il fattoriale di (n-k), se n è maggiore-uguale a k.

binom(n)(k) = 0 se n,k ∈ N, 0 ≤ n < k ; (n!)/(k!(n-k)!) se n,k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n

Dopo queste premesse concentriamoci sull'identità da verificare, ossia dimostriamo che per ogni numero naturale n ≥ 1 si ha che

binom(n)(2) = (n-1)^2-binom(n-1)(2)

Esplicitiamo i coefficienti binomiali:

binom(n)(2) = 0 se n < 2 ; (n!)/(2!(n-2)!) se n ≥ 2

Analogamente

binom(n-1)(2) = 0 se n-1 < 2 ; ((n-1)!)/(2!(n-1-2)!) se n-1 ≥ 2

ossia

binom(n-1)(2) = 0 se n < 3 ; ((n-1)!)/(2(n-3)!) se n ≥ 3

Alla luce di ciò per verificare l'identità occorre analizzare separatamente i casi

n = 1 ; n = 2 ; n ≥ 3


Verifica dell'identità per n = 1

Se n = 1, allora

binom(n)(2) = binom(1)(2) = 0 ; binom(n-1)(2) = binom(0)(2) = 0

e

(n-1)^2 = (1-1)^2 = 0

per cui l'identità è verificata:

binom(n)(2) (= 0) = (n-1)^2 (= 0)-binom(n-1)(2) (= 0) → 0 = 0-0


Verifica dell'identità per n = 2

Se n = 2 si ha che

binom(n)(2) = binom(2)(2) = 1 ; binom(n-1)(2) = binom(1)(2) = 0 ; (n-1)^2 = (2-1)^2 = 1

e anche in questo caso l'uguaglianza è vera:

binom(n)(2) (= 1) = (n-1)^2 (= 1)-binom(n-1)(2) (= 0) → 1 = 1-0


Verifica dell'identità per n ≥ 3

Supponiamo che sia n ≥ 3. Allora

binom(n)(2) = (n!)/(2(n-2)!)

e

binom(n-1)(2) = ((n-1)!)/(2(n-3)!)

Sostituiamo nell'identità

(n!)/(2(n-2)!) = (n-1)^2-((n-1)!)/(2(n-3)!)

Cerchiamo di eliminare i fattoriali. Per farlo applichiamo due volte la definizione ricorsiva di fattoriale ai termini n! e (n-1)! presenti nei due numeratori.

Nel primo caso otterremo il fattore (n-2)! e nel secondo il fattore (n-3)! che si andranno a semplificare con le omonime quantità presenti nei rispettivi denominatori

(n(n-1)(n-2)!)/(2(n-2)!) = (n-1)^2-((n-1)(n-2)(n-3)!)/(2(n-3)!)

semplifichiamo

(n(n-1))/(2) = (n-1)^2-((n-1)(n-2))/(2)

Da questo punto in poi lasciamo il primo membro così com'è e lavoriamo sul secondo.

Calcoliamo il denominatore comune

(n(n-1))/(2) = (2(n-1)^2-(n-1)(n-2))/(2)

Effettuiamo un raccoglimento totale del fattore (n-1)

(n(n-1))/(2) = ((n-1)[2(n-1)-(n-2)])/(2)

e svolgiamo i calcoli nella coppia di parentesi quadre

(n(n-1))/(2) = ((n-1)[2n-2-n+2])/(2) ; (n(n-1))/(2) = ((n-1)n)/(2)

Ci siamo! Il termine a primo membro è uguale al termine a secondo membro, dunque l'identità è verificata.

Verificare un'identità con coefficienti binomiali #102544

avt
YM
Bot
Spunti e riferimenti utili:

- coefficiente binomiale

- esercizi sul coefficiente binomiale

- coefficiente binomiale online
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