Quesito teorico sul numero di permutazioni

Nel compito di oggi c'era un quesito teorico sulle permutazioni a cui non ho saputo rispondere. Sapreste dirmi come si giustifica la seguente affermazione sul numero di permutazioni degli elementi di un insieme?

Si spieghi perché non è possibile che esista un insieme le permutazioni dei cui elementi siano pari a 35.

Ci viene chiesto di spiegare perché non è possibile che esista un insieme le permutazioni dei cui elementi siano uguali a 35.

La risposta al quesito è molto più semplice di quello che si possa pensare.

Anzitutto ricordiamo che gli elementi di un insieme sono, per definizione di insieme, distinti tra loro. Da ciò deduciamo che le permutazioni degli elementi di un insieme sono permutazioni semplici.

Sappiamo inoltre che il numero di permutazioni semplici di elementi è pari al fattoriale di



dunque se le permutazioni di un insieme fossero 35, allora esisterebbe un numero naturale tale che , ma ciò è impossibile.

Il fattoriale di un numero naturale positivo è infatti uguale al prodotto tra se stesso e i numeri naturali che lo precedono, zero escluso, pertanto



Evidentemente i fattoriali dei numeri naturali maggiori di 5 sono maggiori di 120, e quindi di 35, per cui è impossibile che esista un insieme tale che le permutazioni dei suoi elementi siano 35.

È tutto!

Altre risorse utili:

- permutazioni

- permutazioni semplici

- permutazioni con ripetizione

- esercizi sulle permutazioni