[Indovinello] Lo scommettitore accanito

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[Indovinello] Lo scommettitore accanito #92147

avt
albertodeza
Punto
Beppe è un ragazzo appassionato di calcio e... di probabilità! Per sfizio vuole cercare di guadagnare 10 euro scommettendo sulle partite, una volta ogni domenica.

Decide prudentemente di giocare 2 euro ogni domenica. Perciò, senza incrementare l'importo scommesso che resta dunque fisso, vuole guadagnare 10 euro facendo delle schedine con difficoltà incrementali finché non vincerà un importo tale che ripaghi le sconfitte delle volte precedenti e gli faccia guadagnare questi mitici 10 euro!

Per esempio: la prima volta Beppe punta 2 euro in una schedina che gliene farebbe vincere 12 (utile=10, probabilità di vittoria 1/6).

Se perde, la volta successiva scommette 2 euro su una schedina che gliene farebbe vincere 14 (utile=10 probabilità di vittoria 1/7).

Se perde ancora, scommette 2 per vincere 16 (Utile sempre 10, probabilità di vittoria 1/8). E così via.

Ponendo un budget di 20 euro che Beppe non intende sforare, è un rischio che consigliereste di correre a Beppe?
Ringraziano: lucaporfido
 
 

Re: [Indovinello] Lo scommettitore accanito #93593

avt
MathLover22
Cerchio
Che quesito carino, chissà perché non l'avevo visto! emt

Allora introduco due variabili:

I_n, P_n

ossia l'importo e la probabilità di vittoria all'n-sima giocata. È palese che deve essere n\leq 10, in quanto il costo totale delle giocate deve essere minore o uguale di 20.

Ora:

 I_n=2 \ \ \ P_n=\frac{1}{5+n}

Ora se indichiamo con V la vittoria e con S la perdita della scommessa, appare evidente che calcolare la probabilità dei casi favorevoli è molto laborioso:

\\-\ V\\ \\ -\ SV\\ \\ -\ SSV\\ \\ ...\\ \\ -\ SSSSSSSSSV

Quindi furbamente utilizzo l'evento complementare ovvero la probabilità di perdere tutte le scommesse:

-\ SSSSSSSSSS

La probabilità Z di questo evento è data dal prodotto dei complementari di P_n:

Z=\prod_{n=1}^{10}\overline{P_n}=\prod_{n=1}^{10} (1-P_n)=\prod_{n=1}^{10} \left (1-\frac{1}{5+n}  \right )=\prod_{n=1}^{10}\frac{n+4}{n+5}=\frac{1}{3}

Ergo la possibilità di guadagnare i dieci euro è 2/3 ed è conveniente! In particolare più scommesse si fanno, più straordinariamente è elevata la probabilità di vittoria (comincia a essere vantaggiosa da 5 scommesse in poi).
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Os