[Indovinello] Indovinello del pastore

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

[Indovinello] Indovinello del pastore #89275

avt
panuci
Punto
Ciao a tutti, sono qui per proporvi un indovinello al quale sono riuscito a trovare soluzione solo tramite la logica e volevo sapere se qualcuno riesce a spiegarmi in modo rigorosamente matematico come risolverlo.
Allora: un pastore deve comprare esattamente 100 animali spendendo esattamente 100€. Può scegliere fra pecore, galline e piccioni e deve avere almeno un animale per ogni specie. Il costo degli animali è rispettivamente 5€, 1€ e 0.05€ cadauno.
 
 

Re: [Indovinello] Indovinello del pastore #89279

avt
dan95
Punto
Considera le due equazioni:

\\ 5x+y+0.05z=100\\ \\ x+y+z=100

Moltiplichiamo per 20 la prima, e otteniamo

 100x+20y+z=2000

grazie alla seconda equazione si ricava

 z=100-x-y

andiamo a sostituirlo alla prima e otteniamo

 99x+19y=1900

un'equazione diofantea che si risolve con un metodo standard.

Re: [Indovinello] Indovinello del pastore #89782

avt
MathLover22
Cerchio
Mi permetto di continuare con l'algoritmo di euclide(vale solo per le soluzioni intere ovvero quelle che ci servono):

MCD(99,19)=1

Posso scrivere 1 come:

1=99\cdot 5-19\cdot 26

Secondo l'algoritmo di euclide il primo membro deve diventare uguale al secondo dell'equazione iniziale:

1900=99\cdot 9500+19\cdot(-49400)

Una delle soluzioni è x=9500,\ y=-49400, ma l'algoritmo ci permette di generalizzarle. Infatti basta sostituire nel primo membro dell'equazione iniziale la x con x+x_1 e la y con y+y_1:

99(x+x_1)+19(y+y_1)=99x+19y+99x_1-19y_1=1900+99x_1+19x_1

Perciò:

\\ 99x_1+19y_1=0\\ \\ y_1=-\frac{99x_1}{19}

Poiché y_1 è intero x_1 deve essere multiplo di 19 per annullare il denominatore e y_1 deve essere multiplo di -99. Quindi la soluzione generalizzata è

x=9500+19n,\ y=-49400-99n

Però non è ancora finita perché noi possiamo accettare solo le soluzioni maggiori o uguali di 0 e minori o uguali di 100, perciò:

\\ 0\leq 9500+19n\leq 100\mbox{ e }0\leq -49400-99n\leq 100\\ \\ -500\leq n\leq -9400/19\mbox{ e }-500\leq x\leq -49400/99

L'unica soluzione comune è n=-500 oppure n=-499, non ci resta che verificarne l'accettabilità:

\\x=9500+19\cdot(-500)=0\mbox{ o }x=9500+19\cdot(-499)=19\\ \\ y=-49900+(-99\cdot (-500))=100\mbox{ o }y=-49900+(-99\cdot (-499))=1 \\ \\ z=0\mbox{ o }z=80

Quindi il pastore ha 2 scelte comprare 100 galline oppure 19 pecore 1 gallina e 80 piccioni. Dal fatto che tu dica che ci si possa arrivare con la logica penso che tu abbia individuato solo la prima soluzione. In realtà c'è anche questa che è meno ovvia.
  • Pagina:
  • 1
Os