[Indovinello] Algebrico con le monete

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

[Indovinello] Algebrico con le monete #43816

avt
ruben96
Cerchio
Buona sera a tutti. Qualche giorno fa, durante una sfida matematica fra amici, mi hanno proposto un problema del genere:

L'Orue è una valuta che dispone di due sole monete, da 3 e da 11 centesimi.
Qual'è la massima cifra che non può essere pagata esattamente?

la risposta mi han detto che è: 19 centesimi. Vi vorrei chiedere se c'è qualcuno che mi può dare una dimostrazione formale di questo risultato, cioè spiegarmi come ci si arriva, perché io non ci sono riuscito. Grazie!
Ringraziano: Omega, Marcoxt92
 
 

[Indovinello] Algebrico con le monete #43847

avt
Galois
Amministratore
Ciao Ruben96, cerco di risponderti io, con la speranza di essere chiaro.. emt

Ovviamente potrai pagare tutte le cifre che sono multiple di 3, ovvero, per intenderci:

3\ cent,\ 2\cdot 3=6\ cent,\ 3\cdot 3=9\ cent,\ 3\cdot 4=12\ cent\ ...\ 3\cdot k=3k\ cent

con k\in N.

Inoltre si possono pagare tutte le cifre della forma 3k+1, k\in N che però siano maggiori o uguali a 22 e tutti i numeri della forma 3k+2, k\in N che siano maggiori o uguali a 11.

Questo perché 11=3\cdot 3+2 e 22=3\cdot 7+1, ovvero da 1 a 11 posso proseguire 3 alla volta, da 11 a 22 (grazie alla scomposizione di 11 come 11=3\cdot 3+2) (2 alla volta) e da 22 all'infinito, grazie alla scomposizione di 22 come 22=3\cdot 7+1, posso proseguire (e quindi pagare) aumentando una cifra alla volta.

Da un punto di vista matematico (più rigoroso) la spiegazione è che da 20 a più infinito, TUTTI i numeri naturali si possono esprimere nella forma 3k+11n,\mbox{ con } k,n\in N, mentre da 3 a 11 sono esprimibili in quella forma solo i multipli di 3 e da 11 a 22 solo

11=3\cdot 0+11,\ 12=3\cdot 4+11\cdot 0,\ 14=3\cdot 1+11\cdot 1,\ 15=3\cdot 5+11\cdot 0,\ 17=3\cdot 2+11\cdot 1,\ 18=3\cdot 6+11\cdot 0

In definitiva, da 1 a più infinito, le cifre non pagabili con quelle monete sono:

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 16, 19 (questo, per quanto detto prima è quindi il maggiore non pagabile).

Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso le idee, ma spiegare indovinelli non è mai semplice.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, ruben96

[Indovinello] Algebrico con le monete #44001

avt
ruben96
Cerchio
Chiarissimo!emt
Ringraziano: Galois
  • Pagina:
  • 1
Os