Geometria 1: suggerimento per dispense più un problema su compattezza e ricoprimenti

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Geometria 1: suggerimento per dispense più un problema su compattezza e ricoprimenti #13864

avt
carmine riccardo
Punto
ciao a tutti... volevo sottoporvi ad una domanda di chiarimento:
sia X = { x app Q : 0 <x<1) ci sono gli uguali sotto i simboli di <>.
l'insieme di tutti i V k,n della forma V k,n= ( k\n+1, k\n) con k,n e N , k < uguale di n non è un ricoprimento di X. perchè?!?!
inoltre potrebbe essere un ricoprimento di Y = { x app Q : 1\3 < uguale x <uguale 2\3} !??!
 
 

Geometria 1: suggerimento per dispense più un problema su compattezza e ricoprimenti #13879

avt
Omega
Amministratore
Ciao Carmine,

per quanto riguarda la famiglia di aperti

V_{n,k}:=\left(\frac{k}{n+1},\frac{k}{n}\right)

con k\leq n non è un ricoprimento di \{x\in \mathbb{Q}\mbox{ t.c. 0\leq x\leq 1}\} proprio perché non copre i punti x=0\mbox{ ; }x=1.

Dell'insieme Y, invece, lo è eccome. emt
Ringraziano: Pi Greco, carmine riccardo

Re: Geometria 1: suggerimento per dispense più un problema su compattezza e ricoprimenti #13899

avt
carmine riccardo
Punto
ciao omega... allora, volevo chiederti quale sarebbe l'idea della copertura... come posso immaginarmela!?!?
praticamente se io scelgo come valori di k,n per esempio il valore 1 noto che ottengo ( 1\2,1) ed è evidente che V k,n non riesce a coprire x...
intendi dire questo!! emt
se è così, allora spero di aver capito... emt

Re: Geometria 1: suggerimento per dispense più un problema su compattezza e ricoprimenti #13905

avt
Omega
Amministratore
Un ricoprimento di un insieme A è una famiglia di insiemi aperti la cui unione contiene (o coincide, fa lo stesso) l'insieme A.

Nel caso del ricoprimento \{V_{n,k}\}_{k=1...n} definito come sopra prendi un valore di n e consideri tutti gli insiemi della famiglia \{V_{n,k}\}_{k=1...n} al variare di k

Se fissi anche un valore di k, ottieni uno specifico aperto della famiglia.

Se l'unione al variare di k=1,...,n degli aperti della famiglia coincide o contiene l'insieme A, allora la famiglia è un ricoprimento di A.

Nel caso considerato, comunque fissi preventivamente n non ottieni un ricoprimento aperto di X proprio perché rimangono fuori gli elementi x=0\mbox{ ; }x=1.

Nel caso dell'insieme Y, considera ad esempio il ricoprimento che si ottiene con n=4, per cui k\in \{0,1,2,3,4\} emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, carmine riccardo
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