Eserciziario di analisi 2

Mar, 4-10: Riepilogo continuita' e differenziabilita' per funzioni da R^n a valori in R^m. Formule per il calcolo di differenziali di funzioni composte.
Mer, 5-10: Sviluppo di Taylor per funzioni in piu' variabili con resto in forma di Lagrange. Matrice hessiana associata ad una funzione di piu' variabili.
Ven, 7-10: Condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi relativi. Punti di sella. Cenno al concetto di convessita' per funzioni di piu' variabili.
Mar, 11-10: Integrale improprio per funzioni continue su intervalli limitati e non chiusi e per funzioni continue su intervalli illimitati. Criterio del confronto per funzioni di segno costante. Confronto asintotico. Utilizzo di funzioni test.
Mer 12-10: Funzioni assolutamente integrabili. Assoluta integrabilita' implica integrabilita'. Esempi, funzioni continue e limitate su intervalli limitati sono integrabili. Integrali dipendenti da un parametro. Condizioni sufficienti affinche' siano funzioni continue e derivabili del parametro. Integrali dipendenti dal parametro anche agli estremi.
Ven 14-10: Esercitazione.
Mar, 18-10: Teorema delle funzioni implicite sul piano.
Mer 19-10: Teorema delle funzioni implicite nello spazio. Generalizzazioni.
Ven 21-10: Estremi vincolati, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Mar 25-10: Funzioni uniformemente continue. Condizioni piu' deboli per la continuita' e la derivabilita' di integrali dipendenti da parametri. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Teoremi relativi alla convergenza uniforme di funzioni.
Mer 26-10: Esempi e controesempi di successioni di funzioni convergenti uniformemente. Condizioni sufficienti per la continuita' di integrali impropri dipendenti da parametri.
Ven 28-10: Condizioni sufficienti per la derivabilita'' di integrali impropri dipendenti da parametri (per queste ultime 3 lezioni fate riferimento alle dispense del Prof. Troianiello). Esercizi vari.
Mer 2-11: Misura di Peano-Jordan, condizioni necessarie e sufficienti per la misurabilita'. Esempi di insiemi misurabili e non misurabili.
Ven 4-11: Domini normali. Funzioni costanti a tratti. Integrale di funzioni costanti a tratti. Formule di riduzione per funzioni costanti a tratti. Integrale superiore ed integrale inferiore. Funzioni integrabili secondo Riemann. Calcolo di integrali in domini normali.
Mar 8-11: Integrale della funzione caratteristica di un insieme misurabile secondo Peano-Jordan (P-J). Integrabilità di una funzione continua e limitata su un insieme misurabile secondo P-J. Casi in cui si applicano le formule di riduzione.
Mer 9-11: Esercizi sugli integrali multidimensionali.
Ven 11-11: Integrali e misura di P-J in R^3. Baricentro di un insieme, momento di inerzia di un insieme rispetto ad una retta.
Mar 15-11: Cambio di coordinate. Caso affine. Insiemi misurabili in insiemi misurabili e calcolo dell' area dell' insieme dopo la trasformazione. Cenno alla dimostrazione della formula del cambio di variabile nel caso affine. Diffeomorfismi. Formula del cambio di variabile generale (senza dimostrazione).
Mer 16-11: Coordinate polari, coordinate cilindriche, coordinate sferiche. Calcolo di integrali nel caso di particolari simmetrie.
Ven 18-11: Esercizi e discussione dei compiti di esonero.
Mar 22-11: Integrali impropri in 2 e 3 dimensioni su insiemi limitati. Risultati di confronto. Discussione dell'integrabilita' della funzione 1/|P-P_o|*{alpha} nel caso di 2 e 3 dimensioni.
Mar 23-11: Integrali impropri in 2 e 3 dimensioni in domini limitati. Risultati di confronto. Discussione dell'integrabilita' della funzione 1/|P-P_o|*{alpha} nel caso di 2 e 3 dimensioni. Richiamo sulle curve e sulla formula per il calcolo della lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea.
Ven 25-11: Esercitazione sul cambio di variabile e sugli integrali impropri in piu' variabili.
Mar 29-11: Integrali di prima e seconda specie. Lavoro di un campo di forze. Campi radiali, campi gradiente. Condizioni necessarie affinche' un campo sia gradiente.
Mer 30-11: Lavoro per un campo gradiente. Esempio di un campo magnetico. Esercizi.
Ven 2-11: Rotore di un campo. Campi irrotazionali. Campi conservativi. Dimostrazione che un campo conservativo e' gradiente. Teorema di Poincare' : campi irrotazionali su domini stellati sono conservativi. Enunciato del teorema della divergenza sul piano. Calcolo di un area tramite la formula del Th della divergenza.
Mar 6-12: Dimostrazione del teorema della divergenza sul piano per domini normali regolari, cenno della validita' del teorema per domini piu' generali. Teorema di Stokes sul piano. Campi irrotazionali su domini semplicemente connessi sono conservativi. Calcolo del lavoro per campi irrotazionali.
Mer 7-12: Calcolo del flusso uscente per campi a divergenza nulla. Esempi. Superfici nello spazio. Determinazione del piano tangente.
Mar 13-12: Esempi di Superfici. Area di una superficie. Integrale superficiale.
Mer 14-12: Teorema di Stokes. Dimostrazione nel caso di una superficie grafico di una funzione di 2 variabili.
Ven 16-12: Forme differenziali in R^3 cenno, differenziale di forme differenziali. Teorema di Stokes generale (cenno non in programma). Interpretazione dei risultati ottenuti precedentemente a partire dal Teorema di Stokes generale.
Mar 20-12: Forme esatte, forme chiuse. Condizioni necessarie affinche' una uno forma sia il rotore di un campo dato, condizioni sufficienti (solo enunciato). Riepilogo sulla convergenza uniforme di funzioni. Applicazione dei risultati sulla convergenza uniforme al caso di serie di funzioni.
Mer 21-12: Convergenza totale di serie di funzioni. Convergenza totale implica la convergenza uniforme. Serie di potenze. Primi cenni sulla struttura dell' insieme di convergenza. Cenno sul raggio di convergenza.
Mar 10-01: Insieme di convergenza di una serie. Raggio di convergenza di una serie. Regolarita' di una serie di potenze. Legame tra i coefficienti della serie e le derivate della funzione nel punto in cui e' centrata la serie. Legame con gli sviluppi di Taylor. Funzioni analitiche. Esempi.
Mer 11-01: Primitive di una serie di potenze. Equazioni differenziali. Soluzione tramite le serie di potenze. Enunciato del teorema di esistenza ed unicita' di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali autonome. Esempi.
Ven 13-01: Equazioni omogenee. Equazioni di Bernulli. Equazioni differenziali esatte.
Mar 17-01: Fattore integrante. Esercizi vari.
Mer 18-01: Esercizi vari.
Ven 20-01: Equazioni differenziali in forma non normale. Equazioni differenziali di ordine 2 non lineari y''=f(t,y,y'). Metodi risolutivi nel caso in cui f non dipende da y e nel caso in cui f dipende solo da y. Esempi
Mar 24-01: Teorema di esistenza ed unicita' di Cauchy. Dimostrazione dell' esistenza nel caso in cui f e' globalmente lipschitziana in un dominio [a,b]xR tramite approssimazioni successive. Dimostrazione del teorema di esistenza nel caso generale usando il risultato precedente.
Mer 25-01: Lemma di Gronwall. Teorema di unicita' di Cauchy usando Gronwall. Cenno alla dipendenza dai dati iniziali. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Spazio delle fasi.
Ven 27-01: Traiettorie dei sistemi lineari 2x2 nel piano delle fasi.