Esercizio su funzione invertibile con parametro

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Esercizio su funzione invertibile con parametro #45658

avt
lollos
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle funzioni invertibili in cui è presente un parametro reale. Il testo chiede di determinare i possibili valori del parametro affinché una funzione esponenziale rispetti la definizione di funzione invertibile. Sinceramente non so da dove iniziare.

Determinare i valori del parametro k che rendono

f(x)=e^{\tfrac{(k^2+2k)x}{\sqrt{x}+k^2 x}}

una funzione invertibile.
 
 

Esercizio su funzione invertibile con parametro #45701

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio richiede di calcolare i valori del parametro reale k che rendono

f(x)=e^{\tfrac{(k^2+2k)x}{\sqrt{x}+k^2x}}

una funzione invertibile. Il primo passaggio consiste nel determinare il dominio della funzione che si ricava imponendo la condizione di esistenza della radice con indice pari e quella relativa alle funzioni fratte:

- la radice quadrata richiede che il proprio radicando sia maggiore o al più uguale a zero

x\ge 0

- il denominatore della frazione dev'essere non nullo

\sqrt{x}+k^2x\ne 0\ \to \ \sqrt{x}\ne -k^2x

In accordo con la definizione di radice, il primo membro è certamente una quantità non negativa, mentre per x\ge 0 il secondo membro è una quantità negativa o nulla, dunque c'è solo un caso in cui l'uguaglianza può sussistere ed è x=0.

Possiamo asserire quindi che il dominio della funzione al variare del parametro k\ne 0 è:

Dom(f)=(0,+\infty)

Osserviamo che se k=0 l'espressione analitica di f(x) è

f(x)=e^{\tfrac{0\cdot x}{\sqrt{x}+0^2\cdot x}}=e^{0}=1

il cui dominio è Dom(f)=\mathbb{R}.

Analizzato il dominio di f(x) possiamo analizzare l'invertibilità della funzione. In accordo con la teoria, una funzione è invertibile se e solo se soddisfa due condizioni: deve essere sia una funzione iniettiva, sia una funzione suriettiva.

Osserviamo però che la suriettività non è una condizione che impedisce l'invertibilità della funzione. Dal punto di vista pratico, se f(x) non fosse suriettiva avremmo la possibilità di renderla tale restringendo il codominio all'immagine della funzione.

Non possiamo invece fare a meno dell'iniettività della funzione: senza di essa la funzione è certamente non invertibile.

Questo preambolo teorico consente quindi di bypassare lo studio della suriettività in favore di quello relativo all'iniettività: determineremo i valori di k che rendono la funzione iniettiva.

Fissiamo x_1\ \mbox{e} \ x_2 appartenenti al dominio e consideriamo la relazione f(x_1)=f(x_2) che si traduce nell'uguaglianza

e^{\tfrac{(k^2+2k)x_1}{\sqrt{x_1}+k^2 x_1}}=e^{\tfrac{(k^2+2k)x_2}{\sqrt{x_2}+k^2x_2}}

Dobbiamo determinare i valori di k tali per cui l'uguaglianza sia verificata esclusivamente da x_1=x_2.

Iniziamo con i passaggi algebrici, uguagliando gli esponenti delle funzioni esponenziali

\frac{(k^2+2k)x_1}{\sqrt{x_1}+k^2x_1}=\frac{(k^2+2k)x_2}{\sqrt{x_2}+k^2x_2}

Semplifichiamo le notazioni, ponendo

\\ t_1=\sqrt{x_1} \ \to \ t_1^2=x_1\\ \\ t_2=\sqrt{x_2} \ \to \ t_2^2=x_2

cosicché l'uguaglianza si possa riscrivere come

\frac{(k^2+2k)t_1^2}{t_1+k^2 t_1^2}=\frac{(k^2+2k)t_2^2}{t_2+k^2 t_2^2}

Al denominatore del primo membro raccogliamo totalmente t_1 e lo semplifichiamo con quello presente al numeratore. Facciamo la stessa cosa con t_2 al secondo membro

\frac{(k^2+2k)t_1}{1+k^2 t_1}=\frac{(k^2+2k)t_2}{1+k^2t_2}

Moltiplichiamo i due membri per il prodotto dei denominatori così da ottenere l'equazione equivalente

(k^2+2k)t_1(1+k^2t_2)=(k^2+2k)t_2 (1+k^2 t_1)

Eseguiamo i calcoli e infine sommiamo tra loro i termini simili

\\ 2kt_1+k^2t_1+2k^3t_1t_2+k^4t_1t_2=2kt_2+k^2t_2+2k^3t_1t_2+k^4t_1t_2 \\ \\ 2kt_1-2kt_2+k^2t_1-k^2t_2=0

Raccogliamo parzialmente 2k dai primi due termini e k^2 dagli ultimi due

2k(t_1-t_2)+k^2(t_1-t_2)=0

e infine raccogliamo totalmente il fattore comune t_1-t_2

(t_1-t_2)(2k+k^2)=0

A questo punto ripristiniamo le incognite x_1\ \mbox{e} \ x_2 tenendo conto delle sostituzioni fatte

(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(2k+k^2)=0

Se il fattore 2k+k^2 è uguale a zero, l'equazione è soddisfatta indipendentemente dai valori che assumono x_1 \ \mbox{e} \ x_2, pertanto f(x) non è iniettiva e in quanto tale non può essere nemmeno una funzione invertibile.

Se 2k+k^2 è diverso da zero, cioè se k\ne 0 \ \mbox{e} \ k\ne -2, l'equazione è soddisfatta se e solo se è nullo il fattore

\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}

ossia quando

\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=0 \ \to \ \sqrt{x_1}=\sqrt{x_2} \ \to \ x_1=x_2

Sotto queste ipotesi, la funzione è iniettiva e di conseguenza una funzione invertibile.

Concludiamo che f(x) è:

- una funzione invertibile se e solo se k\ne -2\ \mbox{e} \ k\ne 0;

- una funzione non invertibile se k=-2\ \mbox{o}\ k=0.

Osserviamo che se k=-2 l'espressione analitica della funzione è

f(x)=e^{\tfrac{0\cdot x}{4x+\sqrt{x}}}=1

mentre se k=0 diventa

f(x)=e^{\tfrac{0\cdot x}{\sqrt{x}}}=e^{0}=1

In entrambi i casi f(x) è una funzione costante.
Ringraziano: lollos
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Os