Volume piramide quadrangolare regolare con altezza e diedri

Salve, ho un problema sul volume di una piramide quadrangolare regolare, di cui conosco altezza e diedri, che non riesco a risolvere (terza media).

Calcola il volume della piramide quadrangolare regolare che ha altezza 12 cm e facce laterali che formano con la base diedri di 30°.


Il mio dubbio principale è sui diedri perché conosco la definizione geometrica che ho letto su questo forum e su vari libri di teoria ma non riesco ad applicarla a questo problema...

È possibile che si debba partire dalla definizione che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi avendo la misura dei singoli angoli, calcolare i lati del triangolo, ossia la faccia della piramide?

Perché comunque per il volume ho bisogno dell'area di base e quindi dell'area del quadrato...

Ciao amis

Innanzitutto come puoi leggere nel regolamento del forum ogni discussione deve contenere un unico esercizio. Mi trovo quindi costretto a rimuovere due dei tre che hai postato.

Ad ogni modo sono molto simili, differiscono solo per i dati che si hanno a disposizione. Ragion per cui una volta capito come procedere dovrebbe essere facile portare a termine anche gli altri.

Abbiamo a che fare con una piramide regolare a base quadrata.

Il fatto che sia regolare ci assicura che l'altezza cade perpendicolarmente nel centro di simmetria del quadrato di base.

Sappiamo inoltre che la sua altezza è pari a 12 centimetri e che l'angolo diedro che ogni faccia laterale forma con la base è pari a 30 gradi.

Ci chiede di trovare il volume della piramide e per farlo ci manca l'area di base, ovvero il lato del quadrato.

Facciamoci un disegnino:



Osserva che, una volta tracciati:

l'apotema della piramide (che è un segmento che fa parte della faccia laterale) e l'altezza della piramide , congiungendo si viene a formare un triangolo rettangolo:

quello avente come ipotenusa l'apotema della piramide e come cateti l'altezza della piramide ed il segmento che è uguale a metà del segmento (lato di base).

Tale triangolo rettangolo ha un angolo ampio 30° e tale angolo è .

Di conseguenza, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° abbiamo che



Ora, ricordando che in un triangolo, ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, anche se dal disegno non si direbbe ( ) abbiamo che



ovvero è il cateto maggiore di tale triangolo rettangolo e il cateto minore.

Applicando le formule per i triangoli rettangoli con angoli acuti di 30 e 60 abbiamo che:





Abbiamo cioè



Possiamo ora trovare il lato di base



e di conseguenza



Il volume della piramide è quindi: