Dimostrazione sui lati con trapezio circoscritto ad una circonferenza

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Dimostrazione sui lati con trapezio circoscritto ad una circonferenza #71352

avt
mori800
Punto
Ciao a tutti, il problema che vi propongo chiede di fare una dimostrazione per le misure dei lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza. Mi sembra che mi manchi qualche informazione per risolverlo, comunque è il seguente:

sia ABCD un trapezio circoscritto ad una circonferenza di raggio 1,5\ cm. La base maggiore (AB) tange la circonferenza nel punto E.

AE = 1.8\ cm,\ EB = 2.5\ cm.

Dimostrare che DC (base minore) = 2.15cm ; BC (lato obliquo destro) = 3.4 m ; AD (lato obliquo sinistro) = 3.05\ cm


Ora, le uniche informazioni che dà la teoria del libro sono:

1) La somma dei lati opposti del polingono deve essere congruente;

2) Prese due tangenti alla circonferenza con stesso punto di origine (O) esse formano due segmenti con punto di origine e punto di tangenza. Tali segmenti sono uguali tra di loro.

Ma solo con queste non riesco ad arrivare alla conclusione... emt
 
 

Dimostrazione sui lati con trapezio circoscritto ad una circonferenza #71371

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mori800 emt

Il tuo profilo mi dice che di sicuro non sei uno studente delle scuole medie, dunque devo chiederti: questo esercizio a chi si rivolge? Da dove è tratto?

È importante perché, supponendo che si tratti di un esercizio da scuola media (non credo), ci sarebbero parecchi vincoli nel metodo di risoluzione. D'altra parte hai pubblicato il topic sotto "Scuole Medie -> Geometria", ergo...?

Dimostrazione sui lati con trapezio circoscritto ad una circonferenza #71377

avt
mori800
Punto
Ciao Omega
Si, il problema è delle scuole medie (è uno degli esercizi assegnati per casa) e, tra le altre cose, ancora non conoscono il Teorema di Pitagora.

Faccio le veci di una studente delle medie anche se la curiosità è tutta mia.

Dimostrazione sui lati con trapezio circoscritto ad una circonferenza #71401

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

A ben vedere, pur non disponendo nemmeno del teorema di Pitagora (e immagino nemmeno dei criteri di congruenza dei triangoli), possiamo cavarcela agevolmente con i suggerimenti della traccia.

Inoltre, dobbiamo leggere bene la traccia: essa non ci chiede di calcolare, bensì di dimostrare che i segmenti DC,\ BC,\ AD hanno le misure esposte nella tesi. Occhio perché si tratta di un esercizio molto particolare, se si cade nella tentazione di calcolare le misure dei segmenti non se ne esce più vivi; si potrebbe fare tranquillamente, ma non con i pochi mezzi di cui disponiamo.

Dimostrare che DC (base minore) = 2.15\ cm ; BC (lato obliquo destro) = 3.4 m ; AD (lato obliquo sinistro) = 3.05\ cm


Facciamo uno schizzo

trapezio circoscritto


e consideriamo i suggerimenti del libro:

1) in un trapezio circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti deve essere congruente alla somma degli altri due lati opposti (proprietà dei quadrilateri circoscrivibili)

2) I segmenti condotti da un punto esterno ad una circonferenza e tangenti alla circonferenza sono congruenti.


Dunque dalla proprietà 1) sappiamo che

AD+BC=AB+CD

e dalla 2) sappiamo che

AE=AH=1,8\ cm

BE=BF=2,5\ cm

inoltre

DH=DG

CG=CF

e vogliamo dimostrare che

DC=2,15\ cm,\ \ BC=3,4\ cm,\ \ AD=3,05\ cm

La traccia si riduce quindi ad un semplice esercizio di verifica.

I dati della tesi rendono vera la proprietà 1)?

3,05+3,4=(2,5+1,8)+2,15

da cui

7,45=7,45

Abbiamo verificato una condizione per tre dati incogniti. Se ne verifichiamo altre due abbiamo finito (tre condizioni per tre dati).

Osserviamo che

FC=BC-BF

e sappiamo che BF=2,5\ cm, cioè

FC=BC-2,5

Inoltre

DH=AD-AH

e sappiamo che AH=1,8\ cm, cioè

DH=AD-1,8

In particolare, dalla figura emerge subito che

DC= DH+CF

Ok: se riscriviamo le due relazioni per verificare i dati della tesi

FC=BC-2,5\ \to\ FC=3,4-2,5=0,9\ \cm

DH=AD-1,8\ \to\ DH=3,05-1,8=1,25\ cm

Tali dati verificano la relazione

DC=DH+CF

con DC=2,15\ \cm ? Sì, infatti

DH+CF=1,25+0,9=2,15\ \cm

Nota che l'ultima relazione appena scritta verifica due condizioni in un colpo solo. L'esercizio è concluso. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, mori800, Manuela2003
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