Prisma equivalente a un cubo

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Prisma equivalente a un cubo #63895

avt
NicoNetwork
Punto
Devo risolvere un problema sul peso con un prisma equivalente a un cubo, in vista degli esami di Terza Media, ma ho delle difficoltà, mi servirebbe urgente la risoluzione, grazie.

PROBLEMA: un prisma retto ha per base un rombo avente il perimetro di 34m e una diagonale di 15m. Il prisma è equivalente a un cubo il cui spigolo è i 3/2 della diagonale minore del rombo.
Calcola la superficie totale del prisma; il rapporto fra il peso del prisma realizzato in legno d'abete (peso specifico 0.5) e il peso del cubo che è di legno di castagno (peso specifico 0.8).
 
 

Prisma equivalente a un cubo #63918

avt
Galois
Coamministratore
Ciao NicoNetwork emt

[Mod]Prima di procedere ti invito a prendere visione delle linee guida del forum secondo le quali ogni problema deve contenere un tentativo di svolgimento, giusto o sbagliato che sia ;)
Visto che è il tuo primo messaggio per questa volta chiudiamo un occhio. Ti invito inoltre ad avere pazienza. Rispondere richiede tempo, anche perché le nostre son risposte dettagliate ed esaurienti ;)[/Mod]


Veniamo ora al tuo problema. Come prima cosa facciamoci il disegnino. Abbiamo un prisma retto avente per base un rombo ed un cubo:

problema con prisma retta e cubo


di cui sappiamo che:

AC=15 \ m
2p(ABCD)=2p(rombo)=34 \ m
A'B'=\frac{3}{2}DB

e che prisma e cubo sono due solidi equivalenti, ovvero hanno lo stesso volume.

Inoltre conosciamo il peso specifico del prisma e del cubo:

Ps (Prisma) = 0.5
Ps(Cubo)=0,8

Possiamo ora procedere col trovare quanto richiesto dal problema.

Dal perimetro del rombo possiamo trovare la misura del suo lato. Poiché il rombo ha 4 lati uguali abbiamo che:

BC=\frac{2p}{4}=\frac{34}{4}=8,5 \ m

Ancora, poiché le diagonali del rombo si incontrano in un punto che le divide esattamente a metà abbiamo che

OC=AC:2=15:2=7,5 \ m

Possiamo ora applicare il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BOC e trovare così:

OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8,5^2-7,5^2}=\sqrt{72,25-56,25}=\sqrt{16}

la cui radice quadrata è uguale a 4, ovvero:

OB=4 \ m

Questa è la metà della diagonale minore BD la quale sarà quindi uguale a:

DB=2 \cdot OB=8 \ m

Conoscendo la misura delle diagonali del rombo possiamo trovare la sua Area (ci servirà per la superficie totale richiesta dal problema):

A(rombo)=\frac{AC \cdot BD}{2}=\frac{15 \cdot 8}{2}=60 \ m^2


Troviamo ora lo spigolo del cubo che è uguale a 3/2 della diagonale minore (DB) del rombo:

A'B'=\frac{3}{2} \cdot 8 = 12 \ m

Conoscendo lo spigolo del cubo possiamo ora calcolare il volume:

V(cubo)=(A'B')^3=12^3=1728 \ m^3

Poiché i solidi hanno lo stesso volume:

V(prisma)=V(cubo)=1728 \ m^3

Sapendo ora sia il valore del volume e dell'area di base del prisma possiamo trovare la sua altezza:

h=\frac{Volume}{A(base)}=\frac{1728}{60}=28,8 \ m

Grazie all'altezza ed al perimetro del rombo possiamo ricavare la superficie laterale:

S_l = 2p \ cdot h = 34 \cdot 28,8 = 979,2 \ m^2

Ed infine possiamo trovare la superficie totale del prisma:

S_{tot}=S_l + 2A(base) = 979,2+2 \cdot 60 = 979,2 + 120 = 1099,2 \ m^2

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Ricordando ora che il peso di un solido è dato dal prodotto tra volume e peso specifico, abbiamo che:

P(prisma)=1728 \ cdot 0,5 = 864 \ tonnellate

P(cubo)=1728 \ cdot 0,8 = 1382,4 \ tonnellate

Quindi il loro rapporto è:

\frac{P(prisma)}{P(cubo)}=\frac{864}{1382,4}=0,625

Finito emt

PS: ti invito a leggere e studiare le lezioni che man mano ti ho linkato emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Iusbe, NicoNetwork

Prisma equivalente a un cubo #63923

avt
NicoNetwork
Punto
Grazie Galois per aver risolto il mio problema in modo esaustivo. Seguirò senz'altro i tuoi consigli.
Ti Auguro una Buona Serata!
Grazie ancora,
P:S: non ho ricevuto i link da te suggeriti, devo controllare nel mio profilo?

Prisma equivalente a un cubo #63925

avt
Galois
Coamministratore
I link sono le parole in azzurro che man mano trovi nella mia risposta. Se ci passi il cursore sopra vedrai che si trasforma in una manina. Ci clicchi e ti si apre la lezione emt

Prisma equivalente a un cubo #63935

avt
NicoNetwork
Punto
Grazie ancora...ok, capito! molto Gentile!
Ringraziano: Galois
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Os