Calcolare la parte colorata di un triangolo equilatero

Cari amici rieccomi,mi sto allenando con le prove invalsi e ho un dubbio su questo problema.

Il lato del triangolino grigio è la metà del lato del triangolo equilatero ABC di lato a.
Quale è l'area del triangolino grigio?



Mi aiutate amici? Baci!

Ciao Sandruccia dalla prossima domanda che aprirai mi raccomando, non omettere un tentativo di svolgimento. E' richiesto dalle linee guida del Forum..In questo caso farò uno strappo alla regola.

Per evitare di confonderci, chiamerò la misura del lato del triangolo equilatero .

Ricordandoci delle formule del triangolo equilatero, sappiamo che esiste una formula che permette di calcolare l'area di un triangolo equilatero conoscendo solamente la misura del lato



Ora il problema è che noi sappiamo solo che la base del triangolino grigio è metà della base del triangolo grande, cioè .

Abbiamo la sensazione che il triangolino grigio sia equilatero, e se lo fosse non avremmo problemi a calcolarne l'area, perché avremmo già la misura del lato: .


Il punto è che dobbiamo dimostrare che il triangolo grigio è equilatero.


Possiamo fare così: guardiamo le basi dei due triangoli. Esse sono parallele per costruzione. Inoltre sono tagliate dalla trasversale da una parte e dall'altra.

Ricordando le relazioni tra gli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale, sappiamo che gli angoli alla base del triangolino grigio sono congruenti ai rispettivi angoli alla base del triangolone .

Inoltre gli angoli alla base del triangolone sono congruenti e misurano , perché è un triangolo equilatero.

Quindi gli angoli alla base del triangolino grigio sono congruenti e misurano .

Per concludere, notiamo che l'angolo è in comune tra i due triangoli. Esso misura quindi , perché è in particolare un angolo interno di un triangolo equilatero (inteso come angolo interno del triangolo equilatero grande).


Morale della favola: abbiamo dimostrato che gli angoli interni del triangolo grigio misurano tutti . Dunque il triangolo grigio è un triangolo equilatero.


Possiamo allora usare la formula per l'area di un triangolo equilatero conoscendo la misura del lato:




Non cadere nella tentazione di dire che l'area del triangolo grigio è metà dell'area del triangolo grande, perché il lato è la metà dell'altro. Non è così che funziona: nella formula c'è di mezzo il quadrato del lato.

Grazie di tutto, omega!!!!Sei sempre speciale!!