Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza - perimetro e area

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Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza - perimetro e area #581

avt
cifratonda
Punto
Ciao, mi aiutate con un problema di Geometria su un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza, di cui devo calcolare perimetro e area?

In un triangolo isoscele ABC che ha la base di 33.6m è inscritto in una circonferenza che ha il raggio di 17,5m. Calcolare la misura dell'altezza AH del perimetro e l'area del triangolo.

Grazie mille!
 
 

Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza - perimetro e area #584

avt
Omega
Amministratore
Dunque, chiamiamo BC la base del triangolo isoscele, e disegniamo i raggi OB, OC che uniscono il centro agli estremi della base. Poi disegniamo il raggio che và dal centro e che taglia a metà la base BC. Chiamiamo H il punto in cui la base è tagliata a metà.

Il punto è proprio H perché il triangolo è isoscele, e quindi l'altezza è mediana e bisettrice.

Ora: OBH è un triangolo rettangolo e ne calcoliamo l'altezza OH con il teorema di Pitagora (click per spiegazione ed esempi):

OH=\sqrt{OB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=4,9

A questo punto basta osservare che

AH=AO+OH=17,5+4,9=22,4

e quindi l'area del triangolo è

A_{ABC}=\frac{BC\cdot AH}{2}=376,32\mbox{ cm}^2

e per il perimetro ci serve il lato AB, che ancora una volta calcoliamo con Pitagora:

AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=28

e quindi

2p=28+28+33,6=89,6\mbox{ cm}.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza - perimetro e area #585

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di tutto la figura alla quale mi riferirò

triangolo_inscritto_circonferenza

I dati sono:

\\ \overline{BC}= 33.6 \mbox{ m}\\ \\ \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}= 17.5\mbox{ m }

Ricorda infatti che poiché il triangolo è inscritto nella circonferenza allora, per costruzione, la distanza tra il centro e i vertici del triangolo è uguale al raggio.

Osserva inoltre che:

\overline{AH}= \overline{OA}+\overline{OH}

Quello che non conosciamo è la lunghezza del segmento \overline{OH} però lo possiamo calcolare utilizzando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OHC. In particolare, i segmenti \overline{OH}, \overline{CH} corrispondono ai cateti del triangolo rettangolo, mentre \overline{OC} all'ipotenusa.

\overline{CH}= \frac{\overline{BC}}{2}=\frac{33.6}{2}\mbox{ m }= 16.9\mbox{ m}

Utilizziamo le formule inverse del teorema di Pitagora:

\overline{OH}=\sqrt{{\overline{OC}}^2-{\overline{CH}}^2}= \sqrt{17.5^2-16.9^2}= 4.9 \mbox{ m}

A questo punto possiamo calcolare l'altezza:

\overline{AH}=\overline{OA}+\overline{OH}= 17.5+4.9= 22.4\mbox{ m}.

Avendo la base e l'altezza del triangolo isoscele ABC, ne possiamo calcolare l'area:

\mbox{Area}_{ABC}=\frac{\overline{BC}\times\overline{AH}}{2}=\frac{33.6\times22.4}{2}=376.32 \mbox{ m}^2

Ci manca da determinare il perimetro, per il quale è necessario calcolare la lunghezza del lato obliquo del triangolo isoscele.

Considera il triangolo rettangolo AHC. Il lato obliquo \overline{AC} corrisponde all'ipotenusa, \overline{CH}, \overline{AH} sono i cateti.

Applichiamo nuovamente il teorema di Pitagora:

\overline{AC}=\sqrt{\overline{CH}^2+\overline{AH}^2}=\sqrt{784}\mbox{ m}= 28 \mbox{ m}.

Il perimetro del triangolo isoscele è quindi:

P= 2\overline{AC}+\overline{BC}= 89.6\mbox{ m}
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os