Problema con esagono e cerchio

Cari amici, ho un problema sull'esagono e sul cerchio. Devo osservare la figura e i dati, formulare il testo del problema a cui si riferiscono, poi risolvere il problema.


Io vedo una circonferenza con dentro inscritto un esagono regolare, il raggio OA, e un segmento grigio.

Io ho pensato: calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare con il raggio di 16 cm.

Va bene così?
Grazie mille!

Ciao Sandruccia,

per calcolare l'area possiamo semplicemente:

1) calcolare l'area del cerchio;

2) calcolare l'area dell'esagono;

3) calcolare l'area della regione che si trova tra l'esagono e il cerchio;

4) notare che l'area in grigio è proprio dell'area compresa tra esagono e cerchio.

Cosa ci serve? Le formule del cerchio e le formule dell'esagono.

Quindi:



dove ho approssimato con . Nota che ho scritto e che però per essere precisi precisi bisognerebbe usare il simbolo di uguaglianza approssimata .

Per l'area dell'esagono usiamo la formula



dove è proprio il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono, dunque , e è la costante d'area che nel caso dell'esagono vale .

.

Ora calcoliamo la differenza tra le due aree e la dividiamo per 6:

.

Fine del problema!


Riguardo al testo, ci sei quasi:


è il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono, quindi


Per quanto riguarda la risoluzione, per me diventa difficile perché non posso sapere cosa può avervi spiegato la vostra professoressa e cosa no... Se non puoi usare la formula con la costante d'area, puoi usare quella con l'apotema:



dove è il perimetro dell'esagono e l'apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta).

Questo dovrebbe avervelo detto e se così non fosse, sappilo comunque: nel caso specifico dell'esagono il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell'esagono stesso



quindi ci manca solo la misura dell'apotema (raggio della circonferenza inscritta). Per calcolarla consideriamo il triangolo , che è un triangolo equilatero, e usiamo la formula per la misura dell'altezza conoscendo la misura del lato.

L'apotema dell'esagono coincide infatti con l'altezza del triangolo equilatero



dove puoi approssimare con .

Conoscendo il lato dell'esagono e l'apotema puoi calcolare facilmente l'area, per il resto lo svolgimento del problema è lo stesso.