Problema con esagono e cerchio

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Problema con esagono e cerchio #53804

avt
sandruccia
Sfera
Cari amici, ho un problema sull'esagono e sul cerchio. Devo osservare la figura e i dati, formulare il testo del problema a cui si riferiscono, poi risolvere il problema.

esagono inscritto circonferenza

Io vedo una circonferenza con dentro inscritto un esagono regolare, il raggio OA, e un segmento grigio.

Io ho pensato: calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare con il raggio di 16 cm.

Va bene così?
Grazie mille!
 
 

Problema con esagono e cerchio #53852

avt
Omega
Amministratore
Ciao Sandruccia,

per calcolare l'area possiamo semplicemente:

1) calcolare l'area del cerchio;

2) calcolare l'area dell'esagono;

3) calcolare l'area della regione che si trova tra l'esagono e il cerchio;

4) notare che l'area in grigio è proprio (1)/(6) dell'area compresa tra esagono e cerchio.

Cosa ci serve? Le formule del cerchio e le formule dell'esagono.

Quindi:

Area cerchio = π R^2 = 3,14×16^2 cm = 803,84 cm^2

dove ho approssimato π con 3,14. Nota che ho scritto = e che però per essere precisi precisi bisognerebbe usare il simbolo di uguaglianza approssimata ≃.

Per l'area dell'esagono usiamo la formula

Area esagono = R^2×φ

dove R è proprio il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono, dunque R = 16 cm, e φ è la costante d'area che nel caso dell'esagono vale φ = 2,598.

Area esagono = 16^2×2,598 = 655,088 cm^2.

Ora calcoliamo la differenza tra le due aree e la dividiamo per 6:

Area grigia = (Area cerchio-Area esagono):6 = 24,792 cm^2.

Fine del problema!


Riguardo al testo, ci sei quasi:

Io ho pensato: calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare con il raggio di 16 cm.

OA è il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono, quindi

Calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare e che il raggio della circonferenza circoscritta misura 16 cm.

Per quanto riguarda la risoluzione, per me diventa difficile perché non posso sapere cosa può avervi spiegato la vostra professoressa e cosa no... Se non puoi usare la formula con la costante d'area, puoi usare quella con l'apotema:

Area esagono = (2p·a)/(2)

dove 2p = 6L è il perimetro dell'esagono e a l'apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta).

Questo dovrebbe avervelo detto e se così non fosse, sappilo comunque: nel caso specifico dell'esagono il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell'esagono stesso

L = R

quindi ci manca solo la misura dell'apotema (raggio della circonferenza inscritta). Per calcolarla consideriamo il triangolo OAB, che è un triangolo equilatero, e usiamo la formula per la misura dell'altezza conoscendo la misura del lato.

L'apotema dell'esagono coincide infatti con l'altezza del triangolo equilatero OAB

a = h = (L√(3))/(2)

dove puoi approssimare √(3) con 1,732.

Conoscendo il lato dell'esagono e l'apotema puoi calcolare facilmente l'area, per il resto lo svolgimento del problema è lo stesso.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, sandruccia, Galois
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Os