Problema con esagono e cerchio

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Problema con esagono e cerchio #53804

sandruccia

Sfera

Cari amici, ho un problema sull'esagono e sul cerchio. Devo osservare la figura e i dati, formulare il testo del problema a cui si riferiscono, poi risolvere il problema.

Io vedo una circonferenza con dentro inscritto un esagono regolare, il raggio OA, e un segmento grigio.

Io ho pensato: calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare con il raggio di 16 cm.

Va bene così?
Grazie mille!

Problema con esagono e cerchio #53852

Omega

Amministratore

Ciao Sandruccia,

per calcolare l'area possiamo semplicemente:

1) calcolare l'area del cerchio;

2) calcolare l'area dell'esagono;

3) calcolare l'area della regione che si trova tra l'esagono e il cerchio;

4) notare che l'area in grigio è proprio $\frac{1}{6}$ dell'area compresa tra esagono e cerchio.

Cosa ci serve? Le formule del cerchio e le formule dell'esagono.

Quindi:

$\mbox{Area cerchio}=\pi R^2=3,14 \times 16^2\ cm=803,84\ cm^2$

dove ho approssimato $\pi$ con

. Nota che ho scritto

e che però per essere precisi precisi bisognerebbe usare il simbolo di uguaglianza approssimata $\simeq$ .

Per l'area dell'esagono usiamo la formula

$\mbox{Area esagono}=R^2\times \varphi$

dove

è proprio il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono, dunque $R=16\ cm$ , e $\varphi$ è la costante d'area che nel caso dell'esagono vale $\varphi=2,598$ .

$\mbox{Area esagono}=16^2\times 2,598=655,088\ cm^2$ .

Ora calcoliamo la differenza tra le due aree e la dividiamo per 6:

$\mbox{Area grigia}=(\mbox{Area cerchio} - \mbox{Area esagono}):6=24,792\ cm^2$ .

Fine del problema!

Riguardo al testo, ci sei quasi:

Io ho pensato: calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare con il raggio di 16 cm.

è il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono, quindi

Calcola l'area della parte colorata (del segmento grigio) della figura, sapendo che ABCDEF è un esagono regolare e che il raggio della circonferenza circoscritta misura 16 cm.

Per quanto riguarda la risoluzione, per me diventa difficile perché non posso sapere cosa può avervi spiegato la vostra professoressa e cosa no... Se non puoi usare la formula con la costante d'area, puoi usare quella con l'apotema:

$\mbox{Area esagono}=\frac{2p\cdot a}{2}$

dove

è il perimetro dell'esagono e

l'apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta).

Questo dovrebbe avervelo detto e se così non fosse, sappilo comunque: nel caso specifico dell'esagono il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell'esagono stesso

quindi ci manca solo la misura dell'apotema (raggio della circonferenza inscritta). Per calcolarla consideriamo il triangolo

, che è un triangolo equilatero, e usiamo la formula per la misura dell'altezza conoscendo la misura del lato.

L'apotema dell'esagono coincide infatti con l'altezza del triangolo equilatero

$a=h=\frac{L\sqrt{3}}{2}$

dove puoi approssimare $\sqrt{3}$ con

.

Conoscendo il lato dell'esagono e l'apotema puoi calcolare facilmente l'area, per il resto lo svolgimento del problema è lo stesso.

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, sandruccia, Galois

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