Perimetro e area di un'elica (quadrato e cerchi)

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Perimetro e area di un'elica (quadrato e cerchi) #53710

avt
sandruccia
Sfera
Cari amici, sto impazzendo con questo problema sul cerchio e sul quadrato, ma la figura è strana. Dice di determinare la misura del bordo e l'area della superficie grigia. In tutte le circonferenze il raggio misura 1 cm.

problema elica geometria

I risultati sono: 31,4 cm ; 12,86 cm^2.

Grazie di cuore
 
 

Perimetro e area di un'elica (quadrato e cerchi) #53749

avt
Omega
Amministratore
Ciao Sandruccia,

qui ci servono le formule quadrato e le formule del cerchio.

Per calcolare l'area dell'elica ci basta notare che al di fuori del quadrato ci sono 4 semicerchi che appartengono all'elica. All'interno del quadrato mancano proprio 4 semicerchi che non appartengono all'elica (quelli bianchi).

Se immaginiamo di "spostare" i semicerchi dell'elica esterni al quadrato mettendoli al posto dei semicerchi interni (bianchi), vediamo che l'elica occupa un'area che è data da:

\mbox{Area elica}=\mbox{Area quadrato} - \mbox{Area cerchio centrale bianco}

Per calcolare l'area dell'elica possiamo così calcolare l'area del quadrato e sottrarre l'area del cerchio centrale bianco

\mbox{Area elica}=L^2-\pi\times r^2

Il raggio del cerchio bianco è r=1\ cm. E quanto misura il lato del quadrato? PEr scoprirlo notiamo che un qualsiasi lato, ad esempio quello verticale a destra, occupa lo spazio di 2 diametri dei semicerchi:

L=2\mbox{ diametri}=4\mbox{ raggi}=4\times 1\ cm=4\ cm

Quindi

\mbox{Area elica}=4^2-\pi \times 1^2

approssimiamo Pi Greco con \pi\simeq 3,14

\mbox{Area elica}=4^2-3,14 \times 1^2=16-3,14=12,86\ cm^2

---

Per calcolare il perimetro dell'elica (la misura del bordo), dobbiamo fare attenzione e sommare la misura del perimetro esterno e del perimetro interno

\mbox{Perimetro elica}=\mbox{Perimetro interno}+\mbox{Perimetro esterno}

Il perimetro interno è proprio il perimetro della circonferenza bianca

\mbox{Perimetro interno}=2\pi r=2\times 3,14 \times 1=6,28\ cm

Il perimetro esterno possiamo scomporlo in una fila di semicirconferenze - tutte dello stesso raggio - e contarle: ne abbiamo 2 per ogni lato del quadrato, quindi 2\times 4=8 in tutto.

\mbox{Perimetro esterno}=8\times \mbox{Perimetro semicirconferenza}

dove

\mbox{Perimetro semicirconferenza}=(2\pi r):2=3,14\ cm

e quindi

\mbox{Perimetro esterno}=8\times \mbox{Perimetro semicirconferenza}=8\times 3,14\ cm=25,12\ cm

Abbiamo finito!

\mbox{Perimetro elica}=\mbox{Perimetro interno}+\mbox{Perimetro esterno}=6,28+25,12=31,4\ cm
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois

Re: Perimetro e area di un'elica (quadrato e cerchi) #53758

avt
sandruccia
Sfera
Grazie mille caro Omega!
Ringraziano: Omega
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Os