Problemi con triangoli e circonferenze, rette tangenti

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Problemi con triangoli e circonferenze, rette tangenti #510

avt
Roberta
Punto
Ciao! Potete aiutarmi su questi due problemi di Geometria su triangoli, circonferenze e rette tangenti?

1) Su una circonferenza di centro 0 e diametro AB considera un punto P tale che il triangolo PBA abbia il perimetro di 48 cm e il lato PA sia congruente ai 3/4 del lato PB. Sapendo che il raggio della circonferenza è 10 cm calcola l'area del triangolo PAB. (risultato 96cm/2)

2) I segmenti di tangente PT e PS condotti dal punto P esterno a una circonferenza formano con OP un angolo di 30°. Sapendo che P dista dal centro 60 cm calcola perimetro e area del quadrilatero TOSP, (risultato 163,96 cm; 1558,8 cm/2)

Grazie
 
 

Problemi con triangoli e circonferenze, rette tangenti #511

avt
frank094
Maestro
1) Un triangolo inscritto in una semicirconferenza con un lato coincidente con il diametro della stessa è un triangolo rettangolo (click per le formule).

Il lato che coincide con il diametro della cerchio vale 2R ( ovvero, due volte la misura del raggio ).
Il perimetro è invece la somma dei tre lati .. uno di questi è noto, mentre degli altri due conosciamo il rapporto .. abbiamo elementi a sufficiente per procedere!

Perimetro = AB + BP + PA = 2r + BP + PA


Ma sappiamo anche che vale, per ipotesi, la relazione

PA = \frac{3}{4} BP


Se andiamo a sostituirla nel perimetro possiamo ricavarci la misura del lato BP:

Perimetro = 48 = 2r + BP + \frac{3}{4} BP

Perimetro = 48 = 2 \circ 10 + BP + \frac{3}{4} BP

48 = 20 + BP + \frac{3}{4} BP


Adesso portiamo i termini noti ( senza variabile ) a sinistra e poi facciamo il m.c.m. che vale 4:

48 - 20 = BP + \frac{3}{4} BP

28 \circ 4 = 4 BP + 3 BP

112 = 7 BP

BP = \frac{112}{7} = 16


------------

A questo punto possiamo ricavarci anche l'altro cateto dalla relazione precedente:

PA = \frac{3}{4} \circ 16

PA = 12


Possiamo ora facilmente calcolarci l'area del triangolo come semiprodotto dei cateti

Area = \frac{PA \circ BP}{2}

Area = \frac{12 \circ 16}{2} = 96 cm^{2}


Tutto chiaro con questo primo esercizio?

Problemi con triangoli e circonferenze, rette tangenti #512

avt
frank094
Maestro
2) Per comprendere bene questo problema è necessario avere sott'occhio il disegno.
Consideriamo uno dei due triangoli che si formano collegando O con P e facendo poi le due tangenti .. ad esempio il triangolo OPT; esso è chiaramente un triangolo 30, 60, 90 in quanto per ipotesi l'angolo in alto è 30°, quello che si forma con la tangente è per definizione 90° e l'altro è determinato dalla differenza tra 180 e i due già trovati.

In questo genere di triangoli valgono relazioni molto particolari: il cateto opposto all'angolo di 30° è pari alla metà della ipotenusa, mentre il cateto opposto a quello di 60° è pari a \frac{\sqrt{3}}{2}.

Nel nostro caso è OP ad essere l'ipotenusa, OT ad essere opposto all'angolo di 30° e PT a quello di 60°.
Per quanto detto precedentemente sappiamo che vale:

OT = \frac{1}{2} OP

OT = \frac{1}{2} \circ 60 cm = 30 cm


Per trovare l'altro lato lasciamo stare la relazione data dall'angolo e applichiamo il teorema di Pitagora:

OP^{2} - OT^{2} = PT^{2}

60^{2} - 30^{2} = PT^{2}

PT = \sqrt{3600 - 900} = 51,96 cm


Il triangolo OPS è congruente al triangolo OPT quindi le misure dei due lati da trovare sono esattamente le stesse.
Possiamo pertanto andarci a calcolare il perimetro

Perimetro = 2 OT + 2 PT = 51,96 \circ 2 + 30 \circ 2 = 163,92 cm


----------------

L'area invece è data dalla somma delle aree dei due triangoli. Abbiamo già detto che sono rettangoli dunque l'area di uno ( che è uguale a quella dell'altro, in quanto congruenti ) è definita come:

Area = \frac{1}{2} OT \circ PT


A noi interessa però l'area di tutti e due i triangoli quindi possiamo scrivere

 Area Quadrilatero = OT \circ PT = 30 \circ 51,96 = 1.558,8 cm^{2}


Anche qui se hai qualche dubbio circa la risoluzione chiedi pure!
Ringraziano: Omega

Problemi con triangoli e circonferenze, rette tangenti #513

avt
Roberta
Punto
ok, tutto chiaro! grazie!

Problemi con triangoli e circonferenze, rette tangenti #514

avt
Omega
Amministratore
Great great Frank! emt
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Os