Altezze di un triangolo scaleno

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Altezze di un triangolo scaleno #47865

avt
Andrè
Punto
Buongiorno, vorrei un aiuto in questo problema sulle altezze di un triangolo scaleno.

I lati di un triangolo misurano rispettivamente 26 cm, 80 cm e 74 cm. Calcola il perimetro e l'area di un rettangolo avente le dimensioni congruenti alle altezze del triangolo relativo al lato minore e al lato maggiore. I risultati sono: 195,68 cm e 1772,16 cm^2.

Vi ringrazio di cuore.
 
 

Re: Altezze di un triangolo scaleno #47905

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Andrè,

disegniamoci un bel triangolo scaleno:

11.02.2013.3

e consideriamo i dati:

\begin{cases}AB=74\ cm\\ \\ AC=80\ cm\\ \\ BC=26\ cm\end{cases}

Troviamo innanzitutto l'area del triangolo, utilizzando la formula di Erone:

A=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}

dove

p = \frac{74+80+26}{2} = 90\ cm

ovvero è il semiperimetro. Sostituendo i valori nella formula abbiamo:

\\ A=\sqrt{90\times (90-74)\times (90-80)\times (90-26)}=\\ \\ \sqrt{90\times 16\times 10\times 64}=\sqrt{921600}=960\ cm^2

Troviamo ora l'altezza AH relativa al lato maggiore AC. Sapendo che in un triangolo:

Area=\frac{base\times altezza}{2}

abbiamo che:

altezza=\frac{Area \times 2}{base}

e quindi

AH = \frac{2\times Area}{AC}=\frac{2\times 960}{80}=24\ cm

Allo stesso modo

AK = \frac{2\times Area}{BC}=\frac{2\times 960}{26}=73,846\ cm

Quindi le dimensioni del rettangolo sono 24 cm e 73,846 cm, con le quali possiamo trovare perimetro e area (usa le formule del rettangolo).

Lascio terminare a te.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Andrè

Re: Altezze di un triangolo scaleno #47907

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Andrè,

chiamo a, b,c i lati del triangolo, in particolare:

\begin{cases}a= 26\,\,cm\\ b= 80\,\,cm\\ c= 74\,\,cm\end{cases}

Per prima cosa calcoliamo il perimetro del triangolo:

P= a+b+c= 26\,\,cm+ 80\,\,cm +74\,\,cm=180\,\,cm

Il semi-perimetro è:

p= P:2= 90\,\,cm

Utilizziamo la formula di Erone per calcolare l'area del triangolo:

\\ A=\sqrt{p\times(p-a)\times(p-b)\times(p-c)}\\ \\ = \sqrt{90\times (90-26)\times (90-80)\times (90-74)}=960\,\,cm^2

Tramite le formule inverse possiamo calcolare l'altezza relativa al lato minore:

h_{a}= \frac{2\times A}{a}= \frac{960\times 2}{26}=73.84\,\,cm

mentre l'altezza relativa al lato maggiore:

h_{b}= \frac{2\times A}{b}= \frac{2\times 960}{80}= 24\,\,cm

Ora h_a e h_b sono rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo:

P_{rett}= 2\times(h_{a}+h_b)= 2\times (24+73.84)=195.7\,\,cm

L'area invece:

A_{rett}=h_{a}\times h_b= 24\times 73.84=1772.16\,\,cm^2
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Andrè
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