Problema con triangolo isoscele inscritto in una circonferenza

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Problema con triangolo isoscele inscritto in una circonferenza #43694

avt
ornella
Punto
Buongiorno avrei cortesemente bisogno del vostro aiuto per aiutare mia figlia a risolvere questo problema:

calcola il perimetro e l'area di un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza avente il diametro di m 50, sapendo che l'altezza relativa alla base è di 32 m. Determina inoltre la misura della circonferenza e l'area del cerchio.

La figura mostra il triangolo isoscele all'interno della circonferenza alla cui base ci sono le lettere A e B e il vertice superiore riporta la lettera C; dalla base AB c'e' un prolungamento che tocca la circonferenza che viene chiamato D.

Grazie mille!
 
 

Re: Problema con triangolo isoscele inscritto in una circonferenza #43704

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ornella emt

Ci serviranno le formule per il triangolo isoscele e quelle per circonferenza e cerchio.

Conoscendo il diametro del cerchio possiamo calcolare sin da subito la misura del raggio e dunque area del cerchio e perimetro

d=50m\Rightarrow r=25m

quindi

A_{cerchio}=\pi r^2

2p_{cerchio}=2\pi r

Ora uso le notazioni adottate dal testo dell'esercizio: se ho ben compreso, nella figura è presente un triangolo isoscele e viene tracciato il diametro CD che coincide in parte con l'altezza relativa alla base, che chiameremo CH. AB, invece, indica la base del triangolo isoscele.

Trucchetto: consideriamo il triangolo CDB, che è un triangolo rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza ( CD è infatti un diametro!).

Conosciamo le misure dei segmenti: CD,CH e dunque per differenza

HD=50-32=18m

Per il secondo teorema di Euclide l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

CH:HB=HB:HD

Per una nota proprietà delle proporzioni

HB^2=CH\times HD

da cui, estraendo le radici quadrate

HB=\sqrt{CH\times HD}=\sqrt{32\times 18}=24m

A questo punto possiamo calcolare la misura della base del triangolo isoscele

AB=2\times HB

e, con il teorema di Pitagora, la misura del lato obliquo CB (ipotenusa del triangolo rettangolo CHB )

CB=\sqrt{CH^2+HB^2}

Da qui calcolare perimetro e area sarà un gioco da ragazzi, basterà applicare le rispettive formule. Lascio a te la conclusione dell'esercizio, bisogna solamente usare la calcolatrice. emt
Ringraziano: Pi Greco, ornella
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Os