Volume del foro in un solido con piramide e prisma quadrangolare regolare

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Volume del foro in un solido con piramide e prisma quadrangolare regolare #43387

avt
paolatp
Punto
Ciao, qualcuno può darmi aiuto? Non riesco a risolvere un problema con un solido costituito da un prisma quadrangolare regolare e da una piramide, in cui è presente un foro. Scrivo il testo del problema:

un solido che ha l'area della superficie totale di 7524 dm^2 è costituito da un prisma regolare quadrangolare e da una piramide aventi le basi coincidenti; sapendo che l'altezza del prisma supera di 9,5 dm la misura dell'apotema, che lo spigolo di base è lungo 36 dm e che all'interno del solido vi è un foro pari ai 7/24 del suo volume, calcola il volume del foro.

Grazie!
 
 

Volume del foro in un solido con piramide e prisma quadrangolare regolare #43691

avt
Omega
Amministratore
Eccoci: ho visto in "Presentati" che sei una mamma, e ho letto la tua presentazione. Procedo nella risposta. emt

Tutto ciò che ci servirà, in termini di formule, lo puoi trovare nel formulario sul prisma regolare e nel formulario sulla piramide.

Sappiamo che la superficie del solido misura 7524dm^2: essa è costituita da

- superficie di base del prisma;

- superficie laterale del prisma;

- superficie laterale della piramide.

Scriviamo dunque

S_{b,prisma}+S_{lat,prisma}+S_{lat,piramide}=7524

e usiamo le corrispondenti formule per il calcolo delle varie superfici coinvolte. Il prisma è quadrangolare regolare, dunque ha per base un quadrato. Nota inoltre che lo spigolo di base del prisma e lo spigolo di base della piramide coincidono

S_{b,prisma}=l_b^2=36^2=1296dm^2

S_{lat,prisma}=4\times h_{prisma}\times l_{b}=4\times h_{prisma}\times l_{b}

S_{lat,piramide}=\frac{2p\times a}{2}=\frac{4\times 36\times a}{2}

Sostituiamo tutto nella formula per l'area della superficie del solido. L'idea sarà quella di ricavarne un'equazione di primo grado contenente una sola incognita

1296+4\times 36\times h_{prisma}+\frac{4\times 36\times a}{2}=7524dm^2

Sappiamo che h_{prisma}=a+9,5dm, dunque

1296+4\times 36\times (a+9,5)+\frac{4\times 36\times a}{2}=7524dm^2

da cui

1296+4\times 36\times a+36\times 9,5+\frac{4\times 36\times a}{2}=7524dm^2

Abbiamo ricavato un'equazione in a: risolvendola ricavi la misura dell'apotema a e successivamente la misura dell'altezza del prisma h_{prisma}.

Abbiamo tutte le informazioni che ci servono per calcolare il volume del solido, che sarà somma del volume del prisma e del volume della piramide. In realtà, ci manca la misura dell'altezza della piramide, che però possiamo calcolare mediante il teorema di Pitagora

h_{piramide}=\sqrt{a^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

basta fare riferimento al triangolo costituito dall'altezza della piramide, dall'apotema della piramide e dal semi-spigolo di base.

Ci siamo:

V_{solido}=V_{prisma}+V_{piramide}

V_{solido}=l^2\times h_{prisma}+\frac{l^2\times h}{3}

Dopo aver calcolato il volume, per conoscere il volume del foro sarà sufficiente calcolare la frazione del volume totale, ossia

V_{foro}=\frac{7}{24}V_{solido}.
Ringraziano: Pi Greco, paolatp, CarFaby

Re: Volume del foro in un solido con piramide e prisma quadrangolare regolare #43729

avt
paolatp
Punto
emt GRAZIE INFINITE !!!!!!
Ringraziano: Omega
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Os