Problema con differenza e rapporto in un trapezio rettangolo

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Problema con differenza e rapporto in un trapezio rettangolo #40280

avt
valelaur
Cerchio
Ho bisogno di capire come risolvere un problema di geometria sui trapezi rettangoli. La mia insegnante ha detto che è essenzialmente un problema sui segmenti con differenza e rapporto, ma non ricordo più come si impostano. Potreste aiutarmi?

In un trapezio rettangolo i lati non paralleli misurano rispettivamente 24\ \mbox{cm} \ \mbox{e}\  40 \ \mbox{cm}. La base minore è la terza parte della base maggiore e la differenza delle loro misure è 32 \ \mbox{cm}. Calcola il perimetro.

Risultato: 128\ \mbox{cm}.
 
 

Problema con differenza e rapporto in un trapezio rettangolo #40299

avt
Omega
Amministratore
Prima di tutto rappresentiamo un trapezio rettangolo

problema con differenza e rapporto in un trapezio%20rettangolo

dopodiché estrapoliamo i dati dal testo del problema. Il nostro compito prevede di calcolare il perimetro del trapezio sapendo che

- i lati AB \ \mbox{e} \ CD misurano rispettivamente

\overline{AB}=24 \ \mbox{cm} \ \ \ ; \ \ \ \overline{CD}=40 \ \mbox{cm}

- la misura del lato AD è \frac{1}{3} della misura di BC

\overline{AD}=\frac{1}{3}\overline{BC}

- la differenza \overline{BC}-\overline{AD} è 32\ \mbox{cm}.

Riassumendo:

\begin{cases}\overline{AB}=24\ \mbox{cm}\\ \overline{CD}=40\ \mbox{cm}\\ \overline{AD}= \dfrac{1}{3}\,\overline{BC}\\ \mbox{diff}=\overline{BC}-\overline{AD}=32 \ \mbox{cm}\\ 2p=?\end{cases}

Poiché il perimetro del trapezio è uguale alla somma delle lunghezze dei lati

2p=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}

abbiamo necessariamente bisogno delle misure \overline{AD} e \overline{BC} per poterlo calcolare.

Usiamo le formule con cui si affrontano i problemi sui segmenti con differenza e rapporto

\\ \overline{AD}= \mbox{diff}:(\mbox{denominatore}-\mbox{numeratore})\times\mbox{numeratore} \\ \\ \overline{BC}= \mbox{diff}:(\mbox{denominatore}-\mbox{numeratore})\times\mbox{denominatore}

in cui \mbox{diff} è la differenza tra \overline{BC}\ \mbox{e} \ \overline{AD}, mentre con numeratore e denominatore indichiamo i numeri che costituiscono il rapporto \frac{1}{3}.

Sostituiamo i valori e svolgiamo i calcoli

\overline{AD}= \mbox{diff}:(\mbox{denominatore}-\mbox{numeratore})\times\mbox{numeratore}= \\ \\ =32:(3-1)\times 1\ \mbox{cm}=32:2\times 1\ \mbox{cm}=\\ \\ =16 \ \mbox{cm}

\overline{BC}=\mbox{diff}:(\mbox{denominatore}-\mbox{numeratore})\times\mbox{denominatore}= \\ \\ =32:(3-1)\times 3\ \mbox{cm}=32:2\times 3 \ \mbox{cm}=\\ \\ =48\ \mbox{cm}

Ora che abbiamo calcolato \overline{AD}\ \mbox{e} \ \overline{BC}, siamo in grado di determinare il perimetro del trapezio: basta sommare le misure dei quattro lati.

\\ 2p=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=\\ \\ =(16+48+24+40) \ \mbox{cm}=128 \ \mbox{cm}

Fatto!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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Os