Problema con somma e frazione di angoli in un triangolo rettangolo

Potreste aiutarmi con questo problema sul calcolo delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo rettangolo, per piacere?

Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono uno i 3/7 dell'altro. Calcola le loro ampiezze.

Consideriamo un triangolo rettangolo e chiamiamo i suoi angoli acuti.

Ci viene chiesto di calcolare le ampiezze degli angoli sapendo che uno di essi, ad esempio , è i 3/7 dell'altro

Come prima cosa ricordiamo che gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono angoli complementari, ossia la loro somma è uguale a 90°

Con queste premesse possiamo risolvere il problema in tre modi: con il metodo grafico, come nei problemi sui segmenti con somma e rapporto, con le proporzioni oppure con le equazioni. Vediamoli tutti e tre, partendo dal metodo grafico.

Svolgimento del problema con il metodo grafico

Disegniamo un segmento di estremi che rappresenta l'angolo e dividiamolo in 7 parti uguali, tante quante sono le unità del denominatore della frazione . Chiamiamo ciascuna di queste parti uguali.

Tracciamo poi un segmento di estremi che rappresenta l'angolo . Poiché

il segmento è formato da 3 parti uguali a , tante quante sono le unità del numeratore della frazione .

Osservando il grafico si vede che abbiamo 10 parti uguali a . Il valore di ciascuna di queste parti si ottiene dividendo 90°, che rappresenta la somma delle ampiezze dei due angoli, per 10, dunque

Di conseguenza:

Gli angoli acuti del triangolo rettangolo misurano allora 63° e 27°.

Svolgimento del problema con le proporzioni

È il momento delle proporzioni: riscriviamo i dati

Il primo obiettivo è quello di ottenere un'uguaglianza tra rapporti, così da poterla esprimere come proporzione.

Dividiamo allora ambo i membri della prima relazione per

e scriviamo l'ultima uguaglianza come proporzione

È ora il momento delle proprietà delle proporzioni; poiché conosciamo la somma tra i due angoli applichiamo la proprietà del comporre, secondo cui la somma tra i primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la somma tra gli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

Otteniamo così le seguenti proporzioni

ossia

Risolviamole con la proprietà fondamentale, imponendo che il prodotto dei medi sia uguale al prodotto degli estremi e facendo il necessario per ricavare dalla prima proporzione e dalla seconda

Come c'era da aspettarsi abbiamo ottenuto gli stessi risultati: i due angoli sono ampi 63° e 27°.

Svolgimento del problema con le equazioni

Spieghiamo ora l'utilizzo delle equazioni: ripartiamo dalle informazioni in nostro possesso

e imponiamo che sia

Sostituiamo nella prima relazione e otteniamo l'angolo in funzione di

Sostituiamo ora i valori di espressi in funzione di nella relazione sulla somma delle ampiezze

e risolviamo l'equazione di primo grado che abbiamo ottenuto

In definitiva

e quindi

Anche in questo modo abbiamo ottenuto che gli angoli acuti del triangolo rettangolo misurano 63° e 27°.

È tutto!