Misure degli angoli in un triangolo rettangolo

Vi propongo un problema sul triangolo rettangolo che non sto proprio riuscendo a risolvere. Si devono calcolare le ampiezze dei due angoli acuti conoscendo la relazione che li lega.

In un triangolo rettangolo l'angolo acuto maggiore è il doppio del minore più di 18°. Calcola le loro misure.

Dobbiamo calcolare le misure degli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che il maggiore è il doppio del minore più 18°.

Chiamiamo i due angoli acuti e supponiamo che sia l'angolo minore e quello maggiore.

Dalla traccia del problema sappiamo che

Inoltre gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono angoli complementari, e quindi

Con queste informazioni troviamo le ampiezze di e .

Possiamo procedere con le equazioni oppure con il metodo grafico, come nei problemi sui segmenti con somma e prodotto.

Risoluzione del problema con il metodo grafico

Disegniamo due segmenti di diversa lunghezza: il più corto, di estremi e , rappresenta l'angolo , il più lungo l'angolo .

Poiché è il doppio dell'angolo più 18°, il segmento che lo rappresenta sarà formato da due pezzi, e , uguali al segmento , più un pezzettino che rappresenta i 18° aggiuntivi.

Osserviamo il grafico: per calcolare l'ampiezza dell'angolo (rappresentata dal segmento ) dobbiamo sottrarre 18° da 90°, così da ottenere tre pezzi di uguale lunghezza, e dividere il risultato per 3.

In definitiva

e quindi

Risoluzione del problema con le equazioni

Ripartiamo dai dati:

Assegniamo ad il ruolo di incognita

e sostituiamo nella prima relazione, così da ottenere anche in funzione di :

Sostituiamo poi i valori di espressi in funzione di nella seconda relazione e ricaviamo un'equazione di primo grado:

Risolviamola: sommiamo i termini con l'incognita, portiamo 18° al secondo membro ed eseguiamo i vari passaggi fino a ricavare il valore di

Abbiamo praticamente finito, infatti:

In conclusione, indipendente dal metodo scelto, si ottiene che gli angoli acuti del triangolo rettangolo misurano 24° e 66°.