Misure degli angoli in un triangolo rettangolo

Vi propongo un problema sul triangolo rettangolo che non sto proprio riuscendo a risolvere. Si devono calcolare le ampiezze dei due angoli acuti conoscendo la relazione che li lega.
In un triangolo rettangolo l'angolo acuto maggiore è il doppio del minore più di 18°. Calcola le loro misure.

Dobbiamo calcolare le misure degli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che il maggiore è il doppio del minore più 18°.
Chiamiamo i due angoli acuti e supponiamo che
sia l'angolo minore e
quello maggiore.
Dalla traccia del problema sappiamo che
Inoltre gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono angoli complementari, e quindi
Con queste informazioni troviamo le ampiezze di e
.
Possiamo procedere con le equazioni oppure con il metodo grafico, come nei problemi sui segmenti con somma e prodotto.
Risoluzione del problema con il metodo grafico
Disegniamo due segmenti di diversa lunghezza: il più corto, di estremi e
, rappresenta l'angolo
, il più lungo l'angolo
.
Poiché è il doppio dell'angolo
più 18°, il segmento che lo rappresenta sarà formato da due pezzi,
e
, uguali al segmento
, più un pezzettino
che rappresenta i 18° aggiuntivi.

Osserviamo il grafico: per calcolare l'ampiezza dell'angolo (rappresentata dal segmento
) dobbiamo sottrarre 18° da 90°, così da ottenere tre pezzi di uguale lunghezza, e dividere il risultato per 3.
In definitiva
e quindi
Risoluzione del problema con le equazioni
Ripartiamo dai dati:
Assegniamo ad il ruolo di incognita
e sostituiamo nella prima relazione, così da ottenere anche in funzione di
:
Sostituiamo poi i valori di espressi in funzione di
nella seconda relazione e ricaviamo un'equazione di primo grado:
Risolviamola: sommiamo i termini con l'incognita, portiamo 18° al secondo membro ed eseguiamo i vari passaggi fino a ricavare il valore di
Abbiamo praticamente finito, infatti:
In conclusione, indipendente dal metodo scelto, si ottiene che gli angoli acuti del triangolo rettangolo misurano 24° e 66°.
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