Misure degli angoli in un triangolo rettangolo

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#35085
avt
valelaur
Cerchio

Vi propongo un problema sul triangolo rettangolo che non sto proprio riuscendo a risolvere. Si devono calcolare le ampiezze dei due angoli acuti conoscendo la relazione che li lega.

In un triangolo rettangolo l'angolo acuto maggiore è il doppio del minore più di 18°. Calcola le loro misure.

#35095
avt
Amministratore

Dobbiamo calcolare le misure degli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che il maggiore è il doppio del minore più 18°.

Chiamiamo i due angoli acuti α, β e supponiamo che α sia l'angolo minore e β quello maggiore.

Dalla traccia del problema sappiamo che

β = 2α+18°

Inoltre gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono angoli complementari, e quindi

α+β = 90°

Con queste informazioni troviamo le ampiezze di α e β.

Possiamo procedere con le equazioni oppure con il metodo grafico, come nei problemi sui segmenti con somma e prodotto.

Risoluzione del problema con il metodo grafico

Disegniamo due segmenti di diversa lunghezza: il più corto, di estremi A e B, rappresenta l'angolo α, il più lungo l'angolo β.

Poiché β è il doppio dell'angolo α più 18°, il segmento che lo rappresenta sarà formato da due pezzi, CD e DE, uguali al segmento AB, più un pezzettino EF che rappresenta i 18° aggiuntivi.

angoli acuti triangolo rettangolo con metodo grafico

Osserviamo il grafico: per calcolare l'ampiezza dell'angolo α (rappresentata dal segmento AB) dobbiamo sottrarre 18° da 90°, così da ottenere tre pezzi di uguale lunghezza, e dividere il risultato per 3.

In definitiva

 α = (90°−18°):3 = 72°:3 = 24°

e quindi

β = 2α+18° = 2×(24°)+18° = 48°+18° = 66°

Risoluzione del problema con le equazioni

Ripartiamo dai dati:

 β = 2α+18° ; α+β = 90°

Assegniamo ad α il ruolo di incognita

α = x

e sostituiamo nella prima relazione, così da ottenere anche β in funzione di x:

β = 2α+18° → β = 2x+18°

Sostituiamo poi i valori di α, β espressi in funzione di x nella seconda relazione e ricaviamo un'equazione di primo grado:

α+β = 90° → x+2x+18° = 90°

Risolviamola: sommiamo i termini con l'incognita, portiamo 18° al secondo membro ed eseguiamo i vari passaggi fino a ricavare il valore di x

 3x = 90°−18° ; 3x = 72° ; x = (72°)/(3) = 24°

Abbiamo praticamente finito, infatti:

 α = x = 24° ; β = 2x+18° = 2·(24°)+18° = 66°

In conclusione, indipendente dal metodo scelto, si ottiene che gli angoli acuti del triangolo rettangolo misurano 24° e 66°.

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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