Ottaedro, piramide regolare e prisma retta, esercizi di Geometria

Ciao, potreste darmi una mano con tre esercizi di Geometria su un ottaedro, una piramide regolare e un prisma retto?

Scrivo il testo dei tre esercizi di Geometria:

N.1

Calcola la misura del lato di un oggetto di marmo (Ps=2,6) a forma di ottaedro regolare sapendo che pesa 1224,6. Risultato: 10 cm

N.2

L'apotema di una piramide regolare quadrangolare è 5/4 dell'apotema di base, sapendo che l'area della superficie laterale è 3125, calcola il rapporto delle aree delle superfici totali di un cubo equivalente alla piramide e della piramide stessa, nonché il peso specifico della sostanza di cui essa è costituita sapendo che il suo peso è 42187,5 [O__O] Risultato: 2/3 e 2,7

N.3

Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo avente le misure di un cateto e della sua proiezione sull'ipotenusa rispettivamente di 24 e 19,2; sapendo che l'altezza del prisma è 2/3 delcateto minore,calcola il volume e il peso del solido (PS=0,9). Risultato = 2592 e 2332,8 KG

Grazie mille

Ciao MMVP, intanto risolvo il primo. Se non hai dimestichezza con i problemi sul peso specifico, ti suggerisco di leggere la spiegazione del link.

Dati



Sappiamo che:





A questo punto per trovare lo spigolo utilizziamo le formule dell'ottaedro (click!)



dove è il numero fisso dell'ottaedro.

dunque:



Tutto chiaro?

Ciao MMVP, e benvenuto/a in YouMath. Mi occupo del secondo, ma in futuro ti chiedo la cortesia di fare attenzione al titolo che scegli e ad aprire discussioni separate se gli esercizi su cui chiedi aiuto riguardano argomenti separati. Ti ringrazio.

Ora, sapendo che l'apotema è 5/4 dell'apotema di base , abbiamo che



inoltre, dato che la superficie laterale misura e che è data dalla somma delle 4 aree laterali, sappiamo che



da cui



Dunque, sapendo che lo spigolo di base, cioè il lato del quadrato che costituisce la base misura il doppio dell'apotema di base, possiamo calcolare l'area laterale del triangolo come



da cui ricaviamo



e quindi



Possiamo allora calcolarci il volume della piramide quadrangolare



dove l'altezza la calcoliamo con il teorema di Pitagora su apotema di base e apotema



e quindi



Essendo il cubo equivalente alla piramide, sappiamo che



e quindi estraendo la radice cubica troviamo che lo spigolo del cubo misura



Possiamo allora calcolarci la superficie totale del cubo



e quello della piramide



Il rapporto tra le due superfici totali è proprio



mentre il peso specifico richiesto si calcola come rapporto tra massa e volume ed è dato da

Ciao MMVP, allora io butto giù il terzo .

Abbiamo un prisma a base triangolare (nello specifico un triangolo rettangolo) del quale dobbiamo calcolare volume e peso; sappiamo che il volume è definito dal prodotto tra l'area di base e l'altezza:


Sappiamo per ipotesi che l'altezza è pari ai 2/3 del cateto minore, quindi andiamo a sostituire questa preziosa informazione nella relazione sopra


Adesso andiamo ad analizzare il triangolo rettangolo alla base; il primo teorema di Euclide ci dice che il quadrato costruito sul cateto è uguale al prodotto tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa:




Una volta nota l'ipotenusa possiamo calcolare il secondo cateto .. ma in effetti non è necessario farlo: l'importante è notare che questo è sicuramente il cateto minore ( fai una veloce verifica con Pitagora ) quindi, sapendo che


Nella formula per il volume sostituiamo


adesso i valori numerici noti


Sappiamo che il peso è definito dal prodotto tra il volume e il peso specifico, quindi


Tutto chiaro ?

se ce ne fosse ancora uno da risolvere e lo risolvessi io, allora sarebbe la prima volta che tutto lo staff si è unito per risolvere i problemi...