Problema con sfera e tre Coni

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Problema con sfera e tre Coni #20085

avt
Silvietto
Punto
Ciao a tutti, mi aiutate a risolvere questo problema con una sfera e tre coni?

Una sfera d'argento pesa 1186,92 grammi; viene fusa per essere trasformata in 3 coni uguali aventi il raggio di base uguale al raggio della sfera. Sapendo che il peso specifico dell'argento è 10,5 calcolate il raggio della sfera, l'altezza e l'apotema della sfera e la superficie totale di uno dei coni . I 3 coni vengono venduti, sapendo che l'argento costa 400 Lire al grammo e che la spesa della mano d'opera incide del 20%, calcolate il ricavo.

Io ho cercato nel forum ma non ho trovato un problema come il mio nel caso lo trovaste, mi scuso in anticipo.

Grazie in anticipo per l'aiuto emt
 
 

Problema con sfera e tre Coni #20169

avt
Omega
Amministratore
Ciao Silvietto emt

Per risolvere il problema ci serve, innanzitutto, la formula per calcolare il volume di un solido conoscendone il peso e il peso specifico del materiale di cui è costituito. Dalle formule del peso specifico sappiamo che

P_{s}=\frac{P}{V}\to V=\frac{P}{P_s}

in questo modo puoi calcolare il volume del solido, che è una sfera. Il volume di una sfera si calcola come

V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi r_{s}^3

per cui possiamo usare l'inversa di tale formula per calcolare il raggio della sfera

r_{s}=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Il testo dell'esercizio ci dice che il raggio della sfera coincide con il raggio di ciascuno dei tre coni uguali

r_{c}=r_{s}

inoltre la somma dei pesi dei tre coni equivale al peso della sfera

P_{sfera}=P_{3-coni}=3P_{un-cono}

quindi

P_{un-cono}=\frac{1}{3}P_{sfera}

Il volume di uno dei tre coni sarà dato da

V_{cono}=\frac{P_{un-cono}}{P_{s}}

Il volume di un cono si calcola con la formula (click per tutte le formule sul cono)

V_{cono}=\frac{\pi r_c^2\cdot h}{3}

dalla quale possiamo ricavare, mediante la formula inversa, l'altezza di uno dei tre coni

h_{c}=\frac{3V_{un-cono}}{\pi r_c^2}

Per calcolare l'apotema è sufficiente ricorrere al teorema di Pitagora

a=\sqrt{r_c^2+a^2}

Il prezzo dell'argento è 400 Lire al grammo, e la manodopera incide al 20%. 20% vuol dire \frac{1}{5}, per cui il prezzo al grammo sarà pari a

Prezzo_{grammo}=400\mbox{ Lire}+\frac{1}{5}(400\mbox{ Lire})=480\mbox{ Lire}

Il ricavo al grammo è quindi pari a

\mbox{Ricavo al grammo}=80\mbox{ Lire}

se quindi l'artigiano ha acquistato la sfera pagandola 400 Lire al grammo e rivendendola a 480 Lire al grammo, il ricavo totale sarà pari a

\mbox{Ricavo totale}=P_{sfera}\times \mbox{Ricavo al grammo}

Lascio a te l'uso della calcolatrice emt
Ringraziano: Pi Greco, Silvietto

Problema con sfera e tre Coni #20188

avt
Silvietto
Punto
razie =D io ero arrivato fino a calcolare il raggio della sfera poi mi sono inceppato ma per calcolare il rapporto tra la superficie sferica e l'area totale di un cono come faccio?

Problema con sfera e tre Coni #20191

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati emt

[In generale]

Devi calcolare la superficie totale della sfera, che è data da

S_{tot,sfera}=\frac{4}{3}\pi R_{sfera}^3

poi devi calcolare l'area della superficie totale del cono, che è data da

S_{tot,cono}=\pi R_{base,cono}^2+\pi R_{base,cono} a_{cono}

ed infine calcolare il rapporto

\frac{S_{tot,sfera}}{S_{tot,cono}}
Ringraziano: Pi Greco, Silvietto

Problema con sfera e tre Coni #20192

avt
Silvietto
Punto
Si quello l'ho fatto ma non capisco come calcolare il rapporto può sembrare una scemenza ma non ci riesco O.o

Problema con sfera e tre Coni #20193

avt
Omega
Amministratore
Occhio a non perderti in un bicchier d'acqua emt devi solo dividere la superficie totale della sfera per la superficie totale del cono emt
Ringraziano: Silvietto
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Os