Problema su un solido di rotazione con un trapezio isoscele (base maggiore)

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Problema su un solido di rotazione con un trapezio isoscele (base maggiore) #18992

avt
LORENS
Punto
Salve mi servirebbe una mano con questo problema su un solido di rotazione, con un trapezio isoscele che ruota intorno alla base maggiore.

Un trapezio isoscele ha l'altezza di 12 cm; la differenza delle basi è 10 cm ed il loro rapporto è 2. Calcola l'area della superficie ed il volume del solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore.

Grazie mille...ciao a tutti
 
 

Problema su un solido di rotazione con un trapezio isoscele (base maggiore) #19003

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorens emt

Chiamiamo b,B,h,l rispettivamente la base minore del trapezio isoscele, la base maggiore, l'altezza e il lato obliquo.

Sappiamo che

B-b=10cm

\frac{B}{b}=2

Riscriviamo la seconda relazione nella forma B=2b e sostituiamola nella prima relazione

2b-b=10cm\to b=10cm

e quindi

B=10+b=20cm

Calcoliamo la semidifferenza tra le due basi

sd=\frac{B-b}{2}=\frac{10}{2}=5cm

e dunque calcoliamo la misura del lato obliquo con il teorema di Pitagora

l=\sqrt{h^2+sd^2}=\sqrt{144+25}=13cm

Il solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore è costituito da un cilindro e due coni uguali (click per le formule), per cui possiamo calcolarne l'area della superficie totale come

S_{tot,solido}=2S_{lat,cono}+S_{lat,cilindro}=

=2\times \pi\times r_{cono}\times a_{cono}+2\times \pi\times r_{cilindro}\times h_{cilindro}


=2\times \pi\times h\times l+2\times \pi\times h\times b


dove la prima formula è generale, la seconda è riferita agli elementi del trapezio.

Per calcolare il volume del solido, invece

V_{solido}=2V_{cono}+V_{cilindro}=

=2\frac{\pi\times r^2_{cono}\times h_{cono}}{3}+\pi\times r^2_{cilindro}\times h_{cilindro}


=2\frac{\pi\times h^2\times (sd)}{3}+\pi\times h^2\times b


Lascio a te l'uso della calcolatrice emt se vuoi puoi lasciare indicato il \pi nei calcoli, in alternativa puoi approssimarlo con

\pi\simeq 3,14
Ringraziano: Pi Greco, LORENS

Problema su un solido di rotazione con un trapezio isoscele (base maggiore) #19021

avt
LORENS
Punto
Grazie mille!!
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Os