Problemi con piramide regolare quadrangolare e piramide a base rombica

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Problemi con piramide regolare quadrangolare e piramide a base rombica #18568

avt
trilligiorgi
Cerchio
Ciao a tutti! Non ho capito come si fanno due problemi con le piramidi: uno riguarda una piramide regolare quadrangolare e l'altro una piramide a base rombica.

Ho applicato tutte le formule ma non riesco a risolverli lo stesso, potreste aiutarmi?

1) Una piramide quadrangolare regolare ha l'area della superficie totale e superficie laterale rispettivamente di 800 cm quadri e 700 cm quadri. Calcola il volume.

2) Una piramide retta ha per base un rombo le cui diagonali sono lunghe 8 cm e 15 cm. Sapendo che l'area della superficie laterale e 306 cm quadri, determina la misura dell'altezza.

GRAZIE A CHI MI AIUTA emt emt
 
 

Problemi con piramide regolare quadrangolare e piramide a base rombica #18594

avt
Omega
Amministratore
Ciao Trilligiorgi emt tieni da parte il formulario con le formule della piramide. Vediamo come procedere...

Per il primo problema osserva che, conoscendo area della superficie laterale e area della superficie totale della piramide, possiamo ricavare l'area della superficie di base come differenza

S_{base}=S_{tot}-S_{lat}=800-700=100cm^2

La base è un quadrato, per cui possiamo calcolare la misura del lato come radice quadrata dell'area

l=\sqrt{S_{base}}=\sqrt{100}=10cm

L'area della superficie laterale si calcola con la formula

S_{lat}=\frac{2p_{base}\cdot a}{2}=\frac{4la}{2}=2la

Quindi possiamo ricavare la misura dell'apotema

a=\frac{700}{2\cdot 10}=35cm

e quindi possiamo calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

h=\sqrt{a^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}=\sqrt{1200}\simeq 34,64cm

Il volume si calcola con la formula

V=\frac{S_{base}\cdot h}{3}=\frac{100\cdot 34,64}{3}\simeq 1154cm^3

Controlla i conti mentre scrivo lo svolgimento del secondo emt
Ringraziano: Pi Greco

Problemi con piramide regolare quadrangolare e piramide a base rombica #18595

avt
Omega
Amministratore
Per il secondo esercizio lascio a te i conti, ti indico il procedimento completo emt

Conosciamo le diagonali del rombo di base e l'area della superficie laterale: la prima cosa che possiamo calcolare è l'area del rombo di base, semiprodotto delle misure delle diagonali

S_{base}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}

Possiamo anche calcolare il lato del rombo con il teorema di Pitagora

l=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}

e dunque il perimetro del rombo

2p_{base}=4l

Con superficie del rombo e perimetro possiamo calcolarciil raggio della circonferenza inscritta, che poi ci servirà per calcolare l'altezza della piramide. La formula per il raggio della circonferenza inscritta è la seguente

r=\frac{2S_{base}}{2p_{base}}

A questo punto ci serve la misura dell'apotema, dopodiché abbiamo finito. Per calcolarla, scriviamo la formula per l'area della superficie laterale

S_{lat}=\frac{2p_{base}\cdot a}{2}

e la invertiamo

a=\frac{2S_{lat}}{2p_{base}}

Abbiamo finito! emt Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare

h=\sqrt{a^2-r^2}

Ecco fatto! emt
Ringraziano: Pi Greco

Problemi con piramide regolare quadrangolare e piramide a base rombica #18597

avt
trilligiorgi
Cerchio
Grazie!
Ringraziano: Omega
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Os