Piramide a base rombica e superficie totale

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Piramide a base rombica e superficie totale #18090

avt
Baseboì
Punto
Non riesco a risolvere questo problema con una piramide che ha come base un rombo, devo calcolare la superficie totale.

Un rombo, avente l'area di 96 cm^2 e le cui diagonali sono una i (4)/(3) dell'altra, è la base di una piramide retta di volume 64 cm^3. Calcola L'area della superficie totale della piramide.

Grazie!
 
 

Piramide a base rombica e superficie totale #18113

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di calcolare la superficie totale di una piramide retta a base romboidale.

Riportiamo le informazioni che la traccia fornisce:

Area_(rombo) = 96 cm^2 ; D = (4)/(3) di d ; V_(pir) = 64 cm^3

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la superficie totale della Piramide: S_(tot). Per raggiungerlo abbiamo bisogno dell'altezza della piramide che possiamo ricavare con la seguente formula inversa:

h = (3V_(pir))/(Area_(rombo)) = (3·64 cm^3)/(96 cm^2) = 2 cm

Teniamo da parte questa informazione e calcoliamoci la lunghezza delle diagonali del rombo usando le strategie risolutive per i problemi sui segmenti con prodotto e rapporto.

Dall'area del rombo calcoliamo il prodotto tra le due diagonali

D×d = 2×Area_(rombo) = 2×96 cm^2 = 192 cm^2

Il testo del problema fornisce inoltre il rapporto tra le due

(D)/(d) = (4)/(3)

Per poterne calcolare la lunghezza, dividiamo il prodotto delle diagonali per il prodotto tra 4 e 3

ell^2 = (D×d)/(4×3) = (192 cm^2)/(12) = 16 cm^2

dopodiché estraiamo la radice quadrata del risultato: otteniamo quello che prende il nome di lato unitario.

ell = √(16) cm = 4 cm

Per ricavare D e d basta usare le seguenti formule:

D = 4× ell = 4×4 cm = 16 cm ; d = 3× ell = 3×4 cm = 12 cm

Note le diagonali, siamo in grado di calcolare la misura del lato del rombo: basta infatti applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente

- per cateti le semi-diagonali del rombo;

- per ipotenusa il lato del rombo.

l_(rombo) = √(((D)/(2))^2+((d)/(2))^2) = √(((16)/(2))^2+((12)/(2))^2) cm = √(8^2+6^2) cm = 10 cm

Noto il lato del rombo di base, possiamo calcolare inoltre il raggio del cerchio inscritto nel rombo: ci servirà per calcolare l'apotema della piramide.

Il raggio si ricava con la seguente formula

r = (Area_(rombo))/(2×l_(rombo)) = (96 cm^2)/(2×10 cm) = 4,8 cm

mentre l'apotema della piramide è data da

a = √(h^2+r^2) = √(2^2+4,8^2) cm = 5,2 cm

Per calcolare la superficie totale, abbiamo bisogno della superficie laterale data dal semiprodotto tra il perimetro del rombo (ottenuto moltiplicando per 4 la misura del lato del rombo) e l'apotema (che già possediamo).

S_(lat) = (2p_(base)×a)/(2) = (4×l_(rombo)×a)/(2) = (4×10×5,2)/(2) cm^2 = 104 cm^2

Finalmente siamo in grado di calcolare la superficie totale della piramide: basta sommare tra loro la superficie di base (l'area del rombo) e la superficie laterale.

S_(tot) = S_(lat)+Area_(rombo) = 104 cm^2+96 cm^2 = 200 cm^2

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco
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Os