Piramide a base rombica e superficie totale

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Piramide a base rombica e superficie totale #18090

avt
Baseboì
Punto
Non riesco a risolvere questo problema con una piramide che ha come base un rombo, devo calcolare la superficie totale.

Un rombo, avente l'area di 96\mbox{ cm}^2 e le cui diagonali sono una i \frac{4}{3} dell'altra, è la base di una piramide retta di volume 64\mbox{ cm}^3. Calcola L'area della superficie totale della piramide.

Grazie!
 
 

Piramide a base rombica e superficie totale #18113

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di calcolare la superficie totale di una piramide retta a base romboidale.

Riportiamo le informazioni che la traccia fornisce:

\\ \mbox{Area}_{rombo}=96\mbox{ cm}^2\\ \\ \\ D=\frac{4}{3}\mbox{ di }d \\ \\ \\ \mbox{V}_{pir}=64\mbox{ cm}^3

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la superficie totale della Piramide: S_{tot}. Per raggiungerlo abbiamo bisogno dell'altezza della piramide che possiamo ricavare con la seguente formula inversa:

h=\frac{3\mbox{V}_{pir}}{\mbox{Area}_{rombo}}=\frac{3\cdot 64\mbox{ cm}^3}{96\mbox{ cm}^2}=2\mbox{ cm}

Teniamo da parte questa informazione e calcoliamoci la lunghezza delle diagonali del rombo usando le strategie risolutive per i problemi sui segmenti con prodotto e rapporto.

Dall'area del rombo calcoliamo il prodotto tra le due diagonali

D\times d=2\times \mbox{Area}_{rombo}=2\times 96\mbox{ cm}^2=192\mbox{ cm}^2

Il testo del problema fornisce inoltre il rapporto tra le due

\frac{D}{d}=\frac{4}{3}

Per poterne calcolare la lunghezza, dividiamo il prodotto delle diagonali per il prodotto tra 4\ \mbox{e}\ 3

\ell^2=\frac{D\times d}{4\times 3}=\frac{192\mbox{ cm}^2}{12}=16\mbox{ cm}^2

dopodiché estraiamo la radice quadrata del risultato, determinando quello che prende il nome di lato unitario.

\ell=\sqrt{16}\ \mbox{cm}=4\mbox{ cm}

Per ricavare D\ \mbox{e} \ d, basta avvalersi delle seguenti formule:

\\ D=4\times\ell= 4\times 4\mbox{ cm}=16\mbox{ cm}\\ \\ d=3\times\ell=3\times 4\mbox{ cm}=12\mbox{ cm}

Note le diagonali, siamo in grado di calcolare la misura del lato del rombo: basta infatti applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente per cateti le semidiagonali del rombo e per ipotenusa il lato.

\\ l_{rombo}=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^2+\left(\frac{12}{2}\right)^2}\mbox{ cm}=\\ \\ \\ =\sqrt{8^2+6^2}\mbox{ cm}=10\mbox{ cm}

Noto il lato del rombo di base, possiamo calcolare inoltre il raggio del cerchio inscritto nel rombo: ci servirà per calcolare l'apotema della piramide.

Il raggio si ricava con la seguente formula:

r=\frac{\mbox{Area}_{rombo}}{2\times l_{rombo}}=\frac{96\mbox{ cm}^2}{2\times 10\mbox{ cm}}=4,8\mbox{ cm}

mentre l'apotema della piramide è data da

a=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{2^2+4,8^2}\mbox{ cm}=5.2\mbox{ cm}

Per calcolare la superficie totale, abbiamo bisogno della superficie laterale data dal semiprodotto tra il perimetro del rombo, ottenuto moltiplicando per 4 la misura del lato e l'apotema (che già possediamo).

S_{lat}=\frac{2p_{base}\times a}{2}=\frac{4\times l_{rombo}\times a}{2}=\frac{4\times 10\times 5.2}{2}\ \mbox{ cm}^2=104\mbox{ cm}^2

Finalmente siamo in grado di calcolare la superficie totale della piramide: basta sommare tra loro la superficie di base (l'area del rombo) e la superficie laterale.

S_{tot}=S_{lat}+\mbox{Area}_{rombo}=104\mbox{ cm}^2+64\mbox{ cm}^2=168\mbox{ cm}^2

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco
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Os