Peso di un solido di rotazione formato da un trapezio rettangolo

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#17718
avt
LORENS
Punto

Non riesco a calcolare il peso di un solido dato dalla rotazione di un trapezio rettangolo, e avrei bisogno di un vostro aiutino.

Il solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo intorno alla sua base minore viene realizzato in marmo (peso specifico: 2.7 kg/dm^3). L'area del trapezio è 72 cm quadrati, la misura della sua altezza è 8 cm e la base maggiore è il doppio di quella minore. Calcola il peso del solido quando la sua cavità è piena d' acqua.

#17749
avt
Amministratore

Ciao Lorens,

dato che il solido che dobbiamo considerare è dato dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla sua base minore, è facile vedere che esso è dato dalla differenza tra un cilindro e un cono.

Chiamiamo AB la base maggiore del trapezio, BC il lato obliquo, CD la base minore e AD l'altezza del trapezio.

Il cilindro (click per il formulario completo) è quello di raggio AD e altezza AB.

Il cono è quello di altezza AB−CD e raggio AD.

Il testo ci dice che

AB = 2CD

AD = 8cm

A_(trap) = ((AB+CD)×AD)/(2) = 72cm^2

Sostituendo AB,AD nella formula dell'area si ricava la misura della base minore

((2CD+CD)×8)/(2) = 72cm^2

12CD = 72

CD = 6cm

e quindi AB = 12cm e AB−CD = 12−6 = 6cm.

Per calcolare il peso del solido bisogna calcolarne il volume. Ci servono

1) il volume del cilindro

V_(cilindro) = π r^2×h = π AD^2×AB

2) il volume del cono

V_(cono) = (π r^2×a)/(3) = (π×AD^2×CB)/(3)

dove CB = √(CH^2+(AB−DC)^2) = √(AD^2+(AB−DC)^2) si calcola con il teorema di Pitagora

Il volume del solido con la cavità è dato da

V_(solido) = V_(cilindro)−V_(cono)

il suo peso si calcola con la formule del peso specifico

P_(solido) = V_(solido)×Ps_(marmo)

ATTENZIONE che il peso specifico è espresso in Kg/dm^3 e noi lo vogliamo in g/cm^3. In realtà, le due unità di misura sono equivalenti.

A tale peso dobbiamo aggiungere

P_(cavità−piena−d'acqua) = V_(cilindro)×Ps_(acqua)

Il peso cercato è dato da

P_(totale) = P_(solido)+P_(cavità−piena−d'acqua)

Lascio a te i conti, devi solo usare la calcolatrice emt

Ringraziano: Pi Greco
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