Area della superficie totale e volume del solido di rotazione

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Area della superficie totale e volume del solido di rotazione #17345

avt
LORENS
Punto
Chi mi aiuta con questo problema su un solido di rotazione generato da un triangolo rettangolo? Grazie mille!

L'area di un triangolo rettangolo è 23.4 cm quad e la misura di un cateto è 7.2 cm. Calcola l'area della superficie e il volume del solido generato dalla rotazione completa del triangolo intorno alla sua ipotenusa.

Il mio ragionamento è stato che dato che i cateti di un triangolo rettangolo sono la base e l'altezza mi sono calcolato l' altezza facendo la formula inversa dell' area. Poi ragionando ho pensato che effettuando la rotazione si genera un cono. Penso bene?
 
 

Area della superficie totale e volume del solido di rotazione #17360

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Lorens, iniziamo:

\begin{cases}A=23.4\,\, cm^2\\ c_1= 7.2\,\, cm\\S_{tot}=?\\ V=?\end{cases}

Per prima cosa calcoliamo il secondo cateto tramite le formule inverse:

c_2= \frac{2\times A}{c_1}= 2\times 23.4: 7.2=6.5\,\, cm

Tramite il teorema di Pitagora possiamo calcolare la lunghezza della ipotenusa:

i=\sqrt{c_1^2+ c_2^2}=\sqrt{7.2^2+ 6.5^2}=9.7\,\, cm

A questo punto osserva che la rotazione intorno alla ipotenusa genera un solido formato da due coni che hanno la circonferenza di base uguale.

L'altezza di ciascun cono è la proiezione del cateto sulla ipotenusa, interviene quindi il primo teorema di Euclide, grazie al quale possiamo calcolare le proiezioni e quindi le altezze dei coni (click qui per le formule del cono):

i:c_1=c_1:p_{c_1}

Sostiuiamo i numeri:

p_{c_1}= c_1^2:i=7.2^2:9.7 = 5.34\,\, cm

Mentre:

p_{c_2}= c_2^2:i=6.5^2: 9.7= 4.36\,\, cm

Ci serve ora l'altezza relativa alla ipotenusa, rappresenterà il raggio della circonferenza di base del solido di rotazione:

r=\frac{2\times A}{i}= \frac{2\times 23.4}{9.7}=4.82\,\, cm

Abbiamo tutti gli elementi che ci permettono di determinare le incognite del problema:

S_{lat\,\,c_1}= \pi r\cdot c_1=4.82\cdot 7.2 \pi\,\, cm^2= 34.70\pi\,\, cm^2

S_{lat\,\, c_2}= \pi r\cdot c_2=4.82\cdot 6.5 \pi\,\, cm^2= 31.33\pi\,\, cm^2

Sommiamo le superfici laterali:

S_{tot}= S_{lat\,\, c_1}+ S_{lat\,\, c_2}= 34.70\pi+ 31.33\pi=66.03\pi\,\, cm^2

Calcoliamo ora il volume dei singoli coni:

V_{c_1}= \frac{\pi \times r^2\times p_{c_1}}{3}=

= \frac{4.82^2\times 5,34\pi}{3}=41.35\,\, cm^3

V_{c_2}= \frac{\pi \times r^2\times p_{c_2}}{3}=

= \frac{4.82^2\times 4.36\pi}{3}=33.76\pi\,\, cm^3

Sommiamo i volumi:

V_{tot}= V_{c_1}+ V_{c_2}= 41.35\pi+33.76\pi= 75.11\pi\,\, cm^3

Controlla tutti i conti, e fammi sapere se torna emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar

Re: Area della superficie totale e volume del solido di rotazione #17386

avt
LORENS
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Omega, LittleMar
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Os