Solido con cubo e piramide quadrangolare regolare

Ciao ho un problema con un solido formato da un cubo e da una piramide quadrangolare regolare e mi servirebbe una mano per riuscire a risolverlo. Potete? Grazie mille

Un solido di marmo è composto da un cubo sormontato da una piramide quadrangolare regolare, con la base coincidente con la faccia del cubo. Lo spigolo del cubo misura 11 cm e l altezza della piramide 30 cm. Calcola:

La misura dell area della superficie totale del solido;
La misura dell'area di una sezione determinata da un piano parallelo alla base della piramide e distante da essa 1/5 dell'altezza della piramide stessa;
La massa del solido sapendo che la densità del marmo con cui è realizzato è 2,21 g/cm^3.

Risultati del libro: 1276 cm^2; 77,44 cm ^2 ; 5615,61 g.

Ciao Valelaur, prima di procedere con il problema ti anticipo che ci serviranno le formule del cubo e le formule della piramide.



Concentriamoci sul cubo di cui conosciamo lo spigolo, possiamo calcolare l'area di base e la superficie laterale:



Calcoliamo la superficie laterale:



Il volume del cubo è



Adesso concentriamoci sulla piramide, di cui conosciamo lo spigolo di base che coincide con lo spigolo del cubo. Abbiamo quindi l'area di base e l'altezza, possiamo calcolare il volume:



Ci servirà anche l'area della superficie laterale e per calcolarla abbiamo bisogno del perimetro di base e dell'apotema, calcoliamo il perimetro:



Adesso l'apotema utilizzando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e il semilato:



La superficie laterale è:



Possiamo quindi calcolare la superficie totale del solido:



Il volume del solido è:



Con questa informazione possiamo calcolare la massa:



Quello che ci rimane da calcolare è l'area della superficie del quadrato ottenuto dalla intersezione tra il piano parallelo al poligono di base e la piramide. Adesso ci facciamo furbi!

Calcoliamo l'altezza h_1:




Ora calcoliamo l'altezza della piramide che ha per base il quadrato di cui vogliamo conoscere l'area:



A questo punto imponiamo la proporzione



Dove x è il lato del quadrato che ci interessa:



Da cui otteniamo che:



L'area del quadrato è: