Solido con cubo e piramide quadrangolare regolare

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Solido con cubo e piramide quadrangolare regolare #14157

avt
valelaur
Cerchio
Ciao ho un problema con un solido formato da un cubo e da una piramide quadrangolare regolare e mi servirebbe una mano per riuscire a risolverlo. Potete? Grazie mille emt

Un solido di marmo è composto da un cubo sormontato da una piramide quadrangolare regolare, con la base coincidente con la faccia del cubo. Lo spigolo del cubo misura 11 cm e l altezza della piramide 30 cm. Calcola:

La misura dell area della superficie totale del solido;
La misura dell'area di una sezione determinata da un piano parallelo alla base della piramide e distante da essa 1/5 dell'altezza della piramide stessa;
La massa del solido sapendo che la densità del marmo con cui è realizzato è 2,21 g/cm^3.

Risultati del libro: 1276 cm^2; 77,44 cm ^2 ; 5615,61 g.
Ringraziano: axelb23
 
 

Solido con cubo e piramide quadrangolare regolare #14185

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Valelaur, prima di procedere con il problema ti anticipo che ci serviranno le formule del cubo e le formule della piramide. emt

\begin{cases}\ell= 11\,\, cm\\ h_{pir}=30\,\, cm\\S_{tot\,\, solido}=?\\h_{1}= \frac{1}{5}h_{pir} \end{cases}

Concentriamoci sul cubo di cui conosciamo lo spigolo, possiamo calcolare l'area di base e la superficie laterale:

A_{base}= \ell^2= 11^2= 121\,\, cm^2

Calcoliamo la superficie laterale:

S_{lat}= 4\times \ell^2= 4\times 11^2= 484\,\, cm^2

Il volume del cubo è

V_{cubo}= \ell^3= 11^3=1331\,\,cm^3

Adesso concentriamoci sulla piramide, di cui conosciamo lo spigolo di base che coincide con lo spigolo del cubo. Abbiamo quindi l'area di base e l'altezza, possiamo calcolare il volume:

V_{pir}= \frac{A_{base}\times h_{pir}}{3}= \frac{121\times 30}{3}=1210\,\, cm^3

Ci servirà anche l'area della superficie laterale e per calcolarla abbiamo bisogno del perimetro di base e dell'apotema, calcoliamo il perimetro:

P=4\times \ell=44

Adesso l'apotema utilizzando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e il semilato:

a=\sqrt{h_{pir}^2+\frac{\ell^2}{4}}= \sqrt{30^2+\frac{11^2}{4}}=30.5\,\, cm

La superficie laterale è:

S_{lat}= \frac{P\times a}{2}= \frac{44\times 30.5}{2}= 671\,\, cm^2

Possiamo quindi calcolare la superficie totale del solido:

S_{tot\,\,solido}= S_{lat\,\, cubo}+A_{base}+S_{lat\,\,pir}=484+671+121=1276\,\, cm^2

Il volume del solido è:

V_{tot}=V_{cubo}+V_{pir}= 1210+1331=2541\,\, cm^3

Con questa informazione possiamo calcolare la massa:

m=\rho\times V_{tot}=2.21 g/cm^3\times 2541\,\, cm^3=5615.61\,\, g

Quello che ci rimane da calcolare è l'area della superficie del quadrato ottenuto dalla intersezione tra il piano parallelo al poligono di base e la piramide. Adesso ci facciamo furbi!

Calcoliamo l'altezza h_1:

h_1=\frac{1}{5}h_{pir}= \frac{1}{5}\times 30= 6\,\,cm


Ora calcoliamo l'altezza della piramide che ha per base il quadrato di cui vogliamo conoscere l'area:

h_{2}=h_{pir}-h_{1}=30-6=24\,\, cm

A questo punto imponiamo la proporzione

h_2:h_{pir}=x:\ell

Dove x è il lato del quadrato che ci interessa:

24:30=x:11

Da cui otteniamo che:

x= \frac{24\times 11}{30}= 8.8\,\, cm

L'area del quadrato è:

A_{Q}= x^2= 8.8^2= 77.44\,\, cm^2
Ringraziano: Omega, Pi Greco, thejunker
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Os