Solido con cubo e piramide quadrangolare regolare

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#14157
avt
valelaur
Cerchio

Ciao ho un problema con un solido formato da un cubo e da una piramide quadrangolare regolare e mi servirebbe una mano per riuscire a risolverlo. Potete? Grazie mille emt

Un solido di marmo è composto da un cubo sormontato da una piramide quadrangolare regolare, con la base coincidente con la faccia del cubo. Lo spigolo del cubo misura 11 cm e l altezza della piramide 30 cm. Calcola:

La misura dell area della superficie totale del solido;

La misura dell'area di una sezione determinata da un piano parallelo alla base della piramide e distante da essa 1/5 dell'altezza della piramide stessa;

La massa del solido sapendo che la densità del marmo con cui è realizzato è 2,21 g/cm^3.

Risultati del libro: 1276 cm^2; 77,44 cm ^2 ; 5615,61 g.

Ringraziano: axelb23
#14185
avt
Amministratore

Ciao Valelaur, prima di procedere con il problema ti anticipo che ci serviranno le formule del cubo e le formule della piramide. emt

ℓ = 11 , , cm ; h_(pir) = 30 , , cm ; S_(tot , , solido) = ? ; h_(1) = (1)/(5)h_(pir)

Concentriamoci sul cubo di cui conosciamo lo spigolo, possiamo calcolare l'area di base e la superficie laterale:

A_(base) = ℓ^2 = 11^2 = 121 , , cm^2

Calcoliamo la superficie laterale:

S_(lat) = 4×ℓ^2 = 4×11^2 = 484 , , cm^2

Il volume del cubo è

V_(cubo) = ℓ^3 = 11^3 = 1331 , ,cm^3

Adesso concentriamoci sulla piramide, di cui conosciamo lo spigolo di base che coincide con lo spigolo del cubo. Abbiamo quindi l'area di base e l'altezza, possiamo calcolare il volume:

V_(pir) = (A_(base)×h_(pir))/(3) = (121×30)/(3) = 1210 , , cm^3

Ci servirà anche l'area della superficie laterale e per calcolarla abbiamo bisogno del perimetro di base e dell'apotema, calcoliamo il perimetro:

P = 4×ℓ = 44

Adesso l'apotema utilizzando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e il semilato:

a = √(h_(pir)^2+(ℓ^2)/(4)) = √(30^2+(11^2)/(4)) = 30.5 , , cm

La superficie laterale è:

S_(lat) = (P×a)/(2) = (44×30.5)/(2) = 671 , , cm^2

Possiamo quindi calcolare la superficie totale del solido:

S_(tot , ,solido) = S_(lat , , cubo)+A_(base)+S_(lat , ,pir) = 484+671+121 = 1276 , , cm^2

Il volume del solido è:

V_(tot) = V_(cubo)+V_(pir) = 1210+1331 = 2541 , , cm^3

Con questa informazione possiamo calcolare la massa:

m = ρ×V_(tot) = 2.21 g/cm^3×2541 , , cm^3 = 5615.61 , , g

Quello che ci rimane da calcolare è l'area della superficie del quadrato ottenuto dalla intersezione tra il piano parallelo al poligono di base e la piramide. Adesso ci facciamo furbi!

Calcoliamo l'altezza h_1:

h_1 = (1)/(5)h_(pir) = (1)/(5)×30 = 6 , ,cm

Ora calcoliamo l'altezza della piramide che ha per base il quadrato di cui vogliamo conoscere l'area:

h_(2) = h_(pir)−h_(1) = 30−6 = 24 , , cm

A questo punto imponiamo la proporzione

h_2:h_(pir) = x:ℓ

Dove x è il lato del quadrato che ci interessa:

24:30 = x:11

Da cui otteniamo che:

x = (24×11)/(30) = 8.8 , , cm

L'area del quadrato è:

A_(Q) = x^2 = 8.8^2 = 77.44 , , cm^2

Ringraziano: Omega, Pi Greco, thejunker, lalin
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