Volume maggiore tra un cubo e un parallelepipedo rettangolo

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Volume maggiore tra un cubo e un parallelepipedo rettangolo #14033

avt
luigino
Punto
Ho dubbi su questo problema in cui devo stabilire quale tra un cubo e un parallelepipedo rettangolo ha volume maggiore, mi potete dire come risolverlo? Grazie!

Un parallelepipedo rettangolo e un cubo hanno la stessa area della superficie totale, di 216 cm quadrati; la base del parallelepipedo misura 3 cm per 9 cm.

Quale dei due solidi ha volume maggiore? Giustifica la tua risposta.

Grazie mille!
 
 

Volume maggiore tra un cubo e un parallelepipedo rettangolo #14036

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il problema useremo le formule del cubo e quelle del parallelepipedo rettangolo.

Leggiamo con calma il testo e scriviamo i dati del problema. Sappiamo che:

- la superficie totale del cubo e la superficie totale del parallelepipedo hanno la stessa estensione e misurano entrambe 216 centimetri quadrati

S_{tot \ cubo}=S_{tot \ par}=216\ \mbox{cm}^2

- le dimensioni della base del parallelepipedo misurano rispettivamente

\\ d_1=3 \ \mbox{cm} \\ \\ d_2=9 \ \mbox{cm}

Il problema ci chiede di confrontare i volumi dei due solidi: più precisamente ci chiede quale dei due solidi ha il volume più grande.


Volume del cubo

Per calcolare il volume del cubo usiamo la formula

V_{cubo}=\ell^3

dove \ell è la lunghezza dello spigolo (che non conosciamo).

Ricaviamo \ell dividendo per 6 la superficie totale del cubo, ottenendo così l'area di un quadrato che lo compone

A_{Q}=\frac{S_{tot \ cubo}}{6}=\frac{216}{6}\ \mbox{cm}^2=36 \ \mbox{cm}^2

La radice quadrata di A_{Q} coincide con la lunghezza dello spigolo

\ell=\sqrt{A_{Q}}=\sqrt{36}\ \mbox{cm}=6 \ \mbox{cm}

Ora che conosciamo la lunghezza dello spigolo, possiamo determinare il volume del cubo

V_{cubo}=\ell^3=6^3 \ \mbox{cm}^3=216 \ \mbox{cm}^3


Volume del parallelepipedo

Il volume del parallelepipedo è dato dalla formula

V_{par}=S_{base}\cdot h

dove S_{base} è l'area della superficie del rettangolo di base, mentre h è l'altezza del parallelepipedo.

Con i dati del problema possiamo calcolare subito la superficie di base

S_{base}=d_1\cdot d_2=(3\cdot 9) \ \mbox{cm}^2=27 \ \mbox{cm}^2

Per determinare la lunghezza dell'altezza abbiamo bisogno

- della superficie laterale del parallelepipedo che possiamo calcolare come la differenza tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area della superficie di base

\\ S_{lat}=S_{tot \ par}-2\cdot S_{base}=216\ \mbox{cm}^2 -(2\cdot 27) \ \mbox{cm}^2=\\ \\ =216 \ \mbox{cm}^2-54\ \mbox{cm}^2=162 \ \mbox{cm}^2

- del perimetro del rettangolo di base

\\ 2p=2\cdot d_1+2\cdot d_2=2\cdot 3 \ \mbox{cm}+2\cdot 9 \ \mbox{cm}=\\ \\ =6 \ \mbox{cm}+18 \ \mbox{cm}=24 \ \mbox{cm}

Abbiamo finalmente tutti gli elementi per calcolare l'altezza: basta usare la formula inversa

h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{162 \ \mbox{cm}^2}{24 \ \mbox{cm}}=6,75 \ \mbox{cm}

Il volume del parallelepipedo è quindi:

V_{par}=S_{base}\cdot h=27\ \mbox{cm}^2\cdot 6,75 \ \mbox{cm}=182,25 \ \mbox{cm}^3


Conclusioni

Il volume del cubo è V_{cubo}=216 \ \mbox{cm}^3 mentre quello del parallelepipedo è V_{par}=182,25 \ \mbox{cm}^3.

Evidentemente quello più grande è il volume del cubo!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os