Esercizi sui triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30/60 e 45/45)

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizi sui triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30/60 e 45/45) #13183

avt
Ally
Punto
Sono triste mi aiutate a risolvere due esercizi sui triangoli rettangoli con angoli acuti notevoli?

1° Nel trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo forma con la base maggiore un angolo ampio 45°. Sapendo che tale lato e la base minore misurano rispettivamente 20 cm e 40 cm, calcola il perimetro e l'area del trapezio.

2° Il quadrilatero ABCD è formato da due triangoli isosceli aventi in comune la base. Sapendo che l'angolo B misura 120 gradi e il segmento AC misura 20 dm, calcola perimetro e area del quadrilatero.

Grazie mille! Spero possiate darmi una mano altrimenti domani mi prendo una nota! Ally
 
 

Esercizi sui triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30/60 e 45/45) #13192

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ally emt lascia perdere la tristezza da Matematica emt

Per il primo esercizio, chiamiamo AB la base maggiore e CD la base minore, per cui BC è il lato obliquo del trapezio rettangolo.

Se tracciamo l'altezza del trapezio uscente dal vertice C e relativa alla base maggiore AB, chiamandola CH, possiamo considerare il triangolo rettangolo HBC.

Dato che H\hat{B}C=45^{o} le relazioni fondamentali tra ipotenusa e cateti nei triangoli rettangoli con coppie di angoli acuti notevoli (45° e 45°) ci dicono che

BC=\sqrt{2}CH=\sqrt{2}HB

Dunque

CH=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 20=10\sqrt{2}cm, e inoltre

HB=10\sqrt{2}cm

In questo modo possiamo calcolare la misura della base maggiore

AB=CD+HB=40+10\sqrt{2}

e quindi perimetro del trapezio rettangolo

2p=AB+BC+CD+AD=40+10\sqrt{2}+20+40+10\sqrt{2}=100+20\sqrt{2}cm

e area

A_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\times CH}{2}=\frac{(40+10\sqrt{2}+40)\times 10\sqrt{2}}{2}=100+400\sqrt{2}cm^2

Controlla i conti emt Il primo è andato, il secondo arriva emt
Ringraziano: Pi Greco

Esercizi sui triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30/60 e 45/45) #13196

avt
Omega
Amministratore
Per quanto riguarda il secondo esercizio, senza sapere che i due triangoli isosceli sono congruenti non è possibile risolverlo. Credo proprio che i due triangoli siano congruenti: hai dimenticato di scriverlo?

Lo svolgo sotto questa ipotesi (altrimenti - ripeto - non c'è nulla che si possa fare con i dati da te forniti).

Consideriamo il triangolo isoscele ABC: dato che l'angolo in B misura 120° e dato che si tratta di un triangolo isoscele, sappiamo che gli angoli alla base sono congruenti

B\hat{A}C=B\hat{C}A

inoltre la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari a 180°, per cui possiamo calcolare

B\hat{A}C=B\hat{C}A=\frac{180^{o}-120^{o}}{2}=30^{o}

ora tracciamo l'altezza BH relativa alla base AC, che è pure mediana e bisettrice essendo ABC isoscele. Da ciò sappiamo che

AH=HC=10cm

e considerando il triangolo rettangolo AHB, esso ha gli angoli acuti di 30° e 60°, per cui dalle relazioni tra ipotenusa e cateti per triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30° e 60°)

AH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\to AB=\frac{2}{\sqrt{3}}AH=\frac{20}{\sqrt{3}}

e

BH=\frac{1}{2}AB=\frac{10}{\sqrt{3}}

Il perimetro del quadrilatero è quindi

2p=4\times AB=4\times \frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{80}{\sqrt{3}}

si può razionalizzare il risultato

2p=\frac{80\sqrt{3}}{3}

Per quanto riguarda l'area del quadrilatero, basta calcolare l'area del triangolo ABH e moltiplicarla per 4:

A_{quad}=4\times A_{ABH}=4\times \frac{AH\times BH}{2}=2\times 10\times \frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{200}{\sqrt{3}}=\frac{200\sqrt{3}}{3}cm^2

Come sopra: ricontrolla i conti emt
Ringraziano: Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os