Esercizi sui triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30/60 e 45/45)

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#13183
avt
Ally
Punto
Sono triste mi aiutate a risolvere due esercizi sui triangoli rettangoli con angoli acuti notevoli?

1° Nel trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo forma con la base maggiore un angolo ampio 45°. Sapendo che tale lato e la base minore misurano rispettivamente 20 cm e 40 cm, calcola il perimetro e l'area del trapezio.

2° Il quadrilatero ABCD è formato da due triangoli isosceli aventi in comune la base. Sapendo che l'angolo B misura 120 gradi e il segmento AC misura 20 dm, calcola perimetro e area del quadrilatero.

Grazie mille! Spero possiate darmi una mano altrimenti domani mi prendo una nota! Ally
#13192
avt
Omega
Amministratore
Ciao Ally emt lascia perdere la tristezza da Matematica emt

Per il primo esercizio, chiamiamo AB la base maggiore e CD la base minore, per cui BC è il lato obliquo del trapezio rettangolo.

Se tracciamo l'altezza del trapezio uscente dal vertice C e relativa alla base maggiore AB, chiamandola CH, possiamo considerare il triangolo rettangolo HBC.

Dato che HBC = 45^(o) le relazioni fondamentali tra ipotenusa e cateti nei triangoli rettangoli con coppie di angoli acuti notevoli (45° e 45°) ci dicono che

BC = √(2)CH = √(2)HB

Dunque

CH = (√(2))/(2)BC = (√(2))/(2)×20 = 10√(2)cm, e inoltre

HB = 10√(2)cm

In questo modo possiamo calcolare la misura della base maggiore

AB = CD+HB = 40+10√(2)

e quindi perimetro del trapezio rettangolo

2p = AB+BC+CD+AD = 40+10√(2)+20+40+10√(2) = 100+20√(2)cm

e area

A_(ABCD) = ((AB+CD)×CH)/(2) = ((40+10√(2)+40)×10√(2))/(2) = 100+400√(2)cm^2

Controlla i conti emt Il primo è andato, il secondo arriva emt
Ringraziano: Pi Greco
#13196
avt
Omega
Amministratore
Per quanto riguarda il secondo esercizio, senza sapere che i due triangoli isosceli sono congruenti non è possibile risolverlo. Credo proprio che i due triangoli siano congruenti: hai dimenticato di scriverlo?

Lo svolgo sotto questa ipotesi (altrimenti - ripeto - non c'è nulla che si possa fare con i dati da te forniti).

Consideriamo il triangolo isoscele ABC: dato che l'angolo in B misura 120° e dato che si tratta di un triangolo isoscele, sappiamo che gli angoli alla base sono congruenti

BAC = BCA

inoltre la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari a 180°, per cui possiamo calcolare

BAC = BCA = (180^(o)-120^(o))/(2) = 30^(o)

ora tracciamo l'altezza BH relativa alla base AC, che è pure mediana e bisettrice essendo ABC isoscele. Da ciò sappiamo che

AH = HC = 10cm

e considerando il triangolo rettangolo AHB, esso ha gli angoli acuti di 30° e 60°, per cui dalle relazioni tra ipotenusa e cateti per triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (30° e 60°)

AH = (√(3))/(2)AB → AB = (2)/(√(3))AH = (20)/(√(3))

e

BH = (1)/(2)AB = (10)/(√(3))

Il perimetro del quadrilatero è quindi

2p = 4×AB = 4×(20)/(√(3)) = (80)/(√(3))

si può razionalizzare il risultato

2p = (80√(3))/(3)

Per quanto riguarda l'area del quadrilatero, basta calcolare l'area del triangolo ABH e moltiplicarla per 4:

A_(quad) = 4×A_(ABH) = 4×(AH×BH)/(2) = 2×10×(10)/(√(3)) = (200)/(√(3)) = (200√(3))/(3)cm^2

Come sopra: ricontrolla i conti emt
Ringraziano: Pi Greco
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