Problemi su peso specifico di solidi con piramide e cubo

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Problemi su peso specifico di solidi con piramide e cubo #11619

avt
vivi25
Punto
Ci sono due problemi sui solidi con piramidi e cubi che non riesco a fare, il secondo riguarda anche il peso specifico.

Non mi escono i risultati giusti! Mi aiutate per favore?

1. Sulle facce laterali di un cubo vi sono quattro piramidi regolari quadrangolari congruenti aventi le basi coincidenti con le facce del cubo. Sapendo che l'area di una faccia del cubo è 1 m^2 e che l'area totale del solido è 12,4 m^2,determina il volume del solido.

RISULTATO: 2,6 m^3

2. Un portacenere di cristallo (peso specifico 3,3) è formato da un cubo con lo spigolo di 12 cm in cui si trova una cavità a forma di piramide regolare quadrangolare con lo spigolo di 10 cm e l'altezza di 3,75 cm. Calcola il volume,il peso e l'area totale del portacenere.

RISULTATI: 1603 CM^3; 5,2 KG; 889 CM^2.

Grazie in anticipo!
 
 

Problemi su peso specifico di solidi con piramide e cubo #11623

avt
Ifrit
Amministratore
Iniziamo con il primo: ci serviranno le formule del cubo e le formule della piramide

A_(faccia) = 1 , , m^2 ; A_(solido) = 12.4 , , m^2 ; V_(solido) = ?

Abbiamo l'area di una faccia del cubo possiamo calcolare il lato:

ell = √(A_(faccia)) = √(1) = 1 , ,m

Il perimetro di base è dato da:

P = 4× ell = 4×1 = 4 , ,m

Il volume del cubo è:

V_(cubo) = ell^3 = 1^3 , , m^3 = 1 , , m^3

Per come è costruita la figura, la superficie totale del solido è la somma delle superfici laterali delle 4 piramidi più la due volte l'area di una faccia. Poiché le piramidi sono congruenti allora hanno la stessa superficie laterale.

Se all'area totale togliamo l'area di due facce e dividiamo per quattro il risultato otterremo la superficie laterale di una piramide.

S_(lat) = (A_(solido)-2×A_(faccia))/(4) = (12.4-2):4 = 2, 6 , , m^2

Utilizzando le formule inverse possiamo calcolare l'apotema della piramide:

a = (2×S_(lat))/(P_(base)) = 2×2.6:4 = 1.3 , , m

Tramite il teorema di Pitagora possiamo calcolare l'altezza:

h = √(a^2-((ell)/(2))^2) = √(1.3^2-0.5^2) = √(1.44) = 1.2 , ,m

possiamo calcolare il volume:

V_(pir) = (A_b×h)/(3) = (1×1.2)/(3) = 0.4 , , m^3

A questo punto il volume totale è:

V_(tot) = 4×V_(pir)+V_(cubo) = 4×0.4+1 = 2.6 , , m^3
Ringraziano: Omega, toyo10

Problemi su peso specifico di solidi con piramide e cubo #11625

avt
Ifrit
Amministratore
Ora passiamo al secondo esercizio. I dati sono:

p.s = 3.3 ; ell = 12 , , cm ; s_(pir) = 10 , , cm ; h = 3.75 , , cm

Concentriamoci sul cubo di cui conosciamo lo spigolo con il quale possiamo determinare il volume:

V_(cubo) = ell^3 = 12^3 = 1728 , , cm^3

La superficie totale del cubo invece è:

S_(tot) = 6× ell^2 = 6×144 = 864 , , cm^2

Adesso concentriamoci sulla piramide. Possiamo calcolare l'area di base della piramide:

A_(base) = s_(pir)^2 = 10^2 = 100 , , cm^2

l'altezza l'abbiamo, quindi possiamo calcolare il volume:

V_(pir) = (A_b×h)/(3) = (100×3.75):3 = 125 , , cm^3

Ci serve anche la superficie laterale della piramide ma per calcolarla abbiamo bisogno dell'apotema che possiamo calcolare attraverso il teorema di Pitagora:

a = √(h^2+((s_(pir))/(2))^2) = √(3.75^2+5^2) = 6.25 , , cm

La superficie laterale del solido è:

S_(lat) = (P×a)/(2) = (4×10×6.25)/(2) = 125 , , cm^2

La superficie totale è invece:

S_(tot) = S_(lat)+A_b = 125+100 = 225 , , cm^2

Finalmente possiamo calcolare il volume e la superficie totale del solido.

V_(tot) = V_(cubo)-V_(pir) = 1728-125 = 1603 , , cm^3

Per trovare il peso del posacenere usiamo la formula del peso specifico. Prima però (come spiegato nella lezione) dobbiamo convertire il volume dai centimetri cubici ai decimetri cubici

1 dm^3 = 1000 cm^3

quindi

V_(tot) = (1603 cm^3)/(1000) = 1,603 dm^3 ; P = V_(tot)×p.s = 1,603×3.3 = 4,8 Kg

Come puoi vedere il risultato del libro relativo al peso è sbagliato. La superficie totale de solido è data da:

S_(tot) = S_(tot_(cubo))-A_(b , , pir)+S_(lat_(pir)) = 864-100+125 = 889 , , cm^2
Ringraziano: Omega, toyo10
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Os