Esercizio su un rettangolo costruito sui vertici di un rombo

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Esercizio su un rettangolo costruito sui vertici di un rombo #11574

avt
anna vicaretti
Cerchio
Buondì devo dimostrare che una figura costruita a partire da un rombo è un rettangolo, con la costruzione con lati sui vertici. Ecco il testo:

disegna un rombo ABCD e le sue diagonali. Traccia per ogni vertice le rette parallele alla diagonale opposta. Le quattro rette si incontrano a due a due nei punti MNEF. Dimostra che MNEF è un rettangolo e che ogni vertice del rombo è punto medio dei lati del rettangolo.
Grazie, siete una grande risorsa. Vi sono molto riconoscente!
 
 

Esercizio su un rettangolo costruito sui vertici di un rombo #11580

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna emt

l'esercizio che proponi in questa discussione è abbastanza divertente emt

Disegna la figura e segui il ragionamento: chiamiamo A,B,C,D i vertici del rombo, per avere un'idea chiamiamo A,D rispettivamente i vertici che si trovano a nord e sud, e chiamiamo D,B rispettivamente i vertici che si trovano a ovest, est.

Poi, dato che sono dispettoso (emt emt ) chiamiamo (da sinistra a destra) E,F i punti di incontro tra i quali si trova A e H,G i punti di incontro tra i quali si trova C.

Dobbiamo mostrare che:

- EFGH è un rettangolo;

- A,B,C,D sono i punti medi dei lati del rettangolo.

Per farlo, non ci servirà nulla di più che:

1) i criteri di congruenza dei triangoli;

2) sapere che segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti.

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Grazie a 2) siamo subito in grado di dire che EF=HG e che EH=FG, infatti le diagonali di un rombo sono perpendicolari tra loro e dunque sono a due a due perpendicolari le rette passanti per i vertici del rombo.

In particolare, sappiamo che

EF\mbox{//} DB\mbox{//} HG

e che

EH\mbox{//} AC\mbox{//} FG

Per far vedere che EFGH è un rettangolo dobbiamo solamente fare vedere che gli angoli interni misurano 90°. Questo è evidente in base a quanto abbiamo appena detto, perché le rette condotte per i vertici del rombo sono perpendicolari a due a due (essendo ciascuna di esse parallela ad una delle due diagonali del rombo, che sono perpendicolari tra loro).

Chiamiamo O il centro del rombo. Per far vedere che i vertici del rombo sono i punti medi dei lati di tale rettangolo, dobbiamo ragionare sui "triangolini"

AOB,ABF,DEA,DOA,DHC,DOC,COB,CGB

Il ragionamento che vediamo adesso è relativo ai triangoli AOB,ABF,DEA,DOA, ma vale tale e quale per gli altri triangoli.

Mostriamo che tutti i triangoli appena citati sono congruenti: per farlo, osserviamo che:

- i triangoli disposti come la coppia AOB,ABF sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli: "due triangoli sono congruenti se hanno congruenti tutti e tre i corrispondenti lati". Nel caso dei triangoli che abbiamo considerato abbiamo un lato in comune, AB, e i lati AF=OB e AO=FB che coincidono perché sono segmenti paralleli compresi tra rette parallele.

- I triangoli disposti come la coppia DOA,AOB sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, infatti abbiamo AD=AB perché i lati di un rombo sono tutti congruenti e abbiamo AO in comune tra i due triangoli e DO=OB perché il centro del rombo divide le diagonali in due parti uguali.

Abbiamo finito, perché i ragionamenti precedenti valgono tali e quali per ogni coppia di triangoli che abbiamo considerato. Quindi in particolare ne deduciamo che, ad esempio

EA=AF

ossia A è il punto medio di F.

Lo stesso dicasi per gli altri vertici e per i lati su cui si trovano. emt
Ringraziano: frank094, anna vicaretti, CarFaby
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Os