Esercizio su un rettangolo costruito sui vertici di un rombo

Buondì devo dimostrare che una figura costruita a partire da un rombo è un rettangolo, con la costruzione con lati sui vertici. Ecco il testo:

disegna un rombo ABCD e le sue diagonali. Traccia per ogni vertice le rette parallele alla diagonale opposta. Le quattro rette si incontrano a due a due nei punti MNEF. Dimostra che MNEF è un rettangolo e che ogni vertice del rombo è punto medio dei lati del rettangolo.
Grazie, siete una grande risorsa. Vi sono molto riconoscente!

Ciao Anna

l'esercizio che proponi in questa discussione è abbastanza divertente

Disegna la figura e segui il ragionamento: chiamiamo i vertici del rombo, per avere un'idea chiamiamo rispettivamente i vertici che si trovano a nord e sud, e chiamiamo rispettivamente i vertici che si trovano a ovest, est.

Poi, dato che sono dispettoso ( ) chiamiamo (da sinistra a destra) i punti di incontro tra i quali si trova e i punti di incontro tra i quali si trova .

Dobbiamo mostrare che:

- è un rettangolo;

- sono i punti medi dei lati del rettangolo.

Per farlo, non ci servirà nulla di più che:

1) i criteri di congruenza dei triangoli;

2) sapere che segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti.

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Grazie a 2) siamo subito in grado di dire che e che , infatti le diagonali di un rombo sono perpendicolari tra loro e dunque sono a due a due perpendicolari le rette passanti per i vertici del rombo.

In particolare, sappiamo che



e che



Per far vedere che è un rettangolo dobbiamo solamente fare vedere che gli angoli interni misurano 90°. Questo è evidente in base a quanto abbiamo appena detto, perché le rette condotte per i vertici del rombo sono perpendicolari a due a due (essendo ciascuna di esse parallela ad una delle due diagonali del rombo, che sono perpendicolari tra loro).

Chiamiamo il centro del rombo. Per far vedere che i vertici del rombo sono i punti medi dei lati di tale rettangolo, dobbiamo ragionare sui "triangolini"



Il ragionamento che vediamo adesso è relativo ai triangoli , ma vale tale e quale per gli altri triangoli.

Mostriamo che tutti i triangoli appena citati sono congruenti: per farlo, osserviamo che:

- i triangoli disposti come la coppia sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli: "due triangoli sono congruenti se hanno congruenti tutti e tre i corrispondenti lati". Nel caso dei triangoli che abbiamo considerato abbiamo un lato in comune, , e i lati e che coincidono perché sono segmenti paralleli compresi tra rette parallele.

- I triangoli disposti come la coppia sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, infatti abbiamo perché i lati di un rombo sono tutti congruenti e abbiamo in comune tra i due triangoli e perché il centro del rombo divide le diagonali in due parti uguali.

Abbiamo finito, perché i ragionamenti precedenti valgono tali e quali per ogni coppia di triangoli che abbiamo considerato. Quindi in particolare ne deduciamo che, ad esempio



ossia è il punto medio di .

Lo stesso dicasi per gli altri vertici e per i lati su cui si trovano.