Problemi di geometria solida su parallelepipedo e piramide

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Problemi di geometria solida su parallelepipedo e piramide #11176

avt
vivi25
Punto
Ciao ho da svolgere due problemi di Geometria Solida, di cui uno sulla piramide e uno sul parallelepipedo. Non so quali formule devo utilizzare, mi aiutate?

1. Un solido è formato da due piramidi regolari quadrangolari aventi la base in comune. Sapendo che lo spigolo della base comune misura 12 cm, che l'altezza di una piramide è 3/8 dello spigolo suddetto e che il volume del solido è 907,2 cm^3, calcola l'area del solido.

RISULTATO 554,40 CM^2.

2. Un parallelepipedo rettangolo alto 5 cm ha il perimetro di base di 100 cm e una dimensione della base uguale ai 2/3 dell'altra. Una piramide regolare quadrangolare con il lato di base di 14 cm è sovrapposta alla base del parallelepipedo. Calcola il volume del solido, sapendo che la sua area totale è 2204 cm^2.

RISULTATO 4568 CM^3.

Vi prego aiutatemi, non so che fare! :(
 
 

Problemi di geometria solida su parallelepipedo e piramide #11208

avt
Ifrit
Amministratore
Per il primo problema ci servono le formule sulla piramide, che trovi nel formulario del link.

\begin{cases}\ell=12\,\, cm\\ h_1=\frac{3}{8}\ell \\V_{tot}=907.2\,\, cm^3\\S_{tot}=?\end{cases}

Calcoliamo l'altezza della prima piramide:

h_1= 12:8\times 3=4.5\,\, cm

Tramite il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e il semilato, possiamo calcolare l'apotema:

a=\sqrt{h_1^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2}= \sqrt{4.5^2+6^2}=7.5\,\,cm

Calcoliamo il perimetro di base e l'area di base:

A_b=\ell^2= 12^2=144\,\, cm^2

Il perimetro è:

P=4\times \ell= 4\times 12=48\,\, cm

L'area ci serve per calcolare il volume della piramide:

V_1=A_b\times h_1:3 =144\times 4.5:3=216\,\,cm^3

Utilizzando l'apotema e il perimetro calcoleremo la superficie laterale della prima piramide:

S_{lat_1}=\frac{P\times a}{2}= \frac{48\times 7.5}{2}=180\,\, cm^2

Ora ci concentreremo sulla seconda Piramide di cui possiamo conoscere il volume:

V_2=V_{tot}-V_1= 907.2-216=691.2\,\, cm^3

L'area di base coincide con quella calcolata precedente. Utilizzando le formule inverse possiamo calcolare l'altezza:

h_2=\frac{3\times V_2}{A_b}=\frac{3\times 691.2}{144}= 14,4\,\, cm

Per calcolare la superficie laterale abbiamo bisogno dell'apotema della seconda piramide, utilizzeremo nuovamente il teorema di Pitagora:

a_2=\sqrt{h_2^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2}=\sqrt{14.4^2+6^2}= 15.6\,\, cm

La superficie laterale della seconda piramide è:

S_{lat_2}=\frac{P\times a_2}{2}=\frac{48\times 15.6}{2}=374.4\,\, cm^2

La superficie totale del solido è data dalla somma delle superfici laterali delle due piramidi:

S_{tot}=S_{lat_1}+S_{lat_2}= 180+374,4=554.4\,\, cm^2
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094

Problemi di geometria solida su parallelepipedo e piramide #11211

avt
Ifrit
Amministratore
Per il secondo: formule sul parallelepipedo rettangolo. emt

\begin{cases}h=5\,\, cm\\ P=100\,\, cm\\ d_1=\frac{2}{3}d_2\\ \ell=14\,\, cm\\ S_{tot}=2204\,\,cm^2\\V_{tot}=?\end{cases}

Prima ci concentriamo sul parallelepipedo, di cui conosciamo il perimetro del rettangolo di base. Dividendo a metà il perimetro di base abbiamo la somma tra le dimensioni:

S=d_1+d_2=P:2= 100:2=50\,\, cm

calcoliamo l'unità frazionaria sommando 2 e 3:

u=2+3=5

Di conseguenza:

d_1=S:u\times 2= 50:5\times 2= 20\,\,cm

d_2=S:u\times 3= 50:5\times 3= 30\,\, cm

L'area di base è:

A_b=d_1\times d_2= 20\times 30=600\,\, cm^2

con la quale possiamo calcolare il volume del primo solido:

V_1=A_b\times h= 600\times 5= 3000\,\, cm^3

La superficie laterale del parallelepipedo è:

S_{lat_1}= P\times h= 100\times 5=500\,\, cm^2

Calcoliamo la superficie totale:

S_{tot_1}=S_{lat_1}+2\times A_b= 500+2\times 600=1700\,\, cm^2


Adesso concentriamoci sulla piramide:

Della piramide sappiamo che il poligono di base è un quadrato con lato \ell= 14\,\,cm

Possiamo calcolare l'area di base e il perimetro di base:

A_{b_2}=\ell^2= 14^2=196\,\,cm^2

Il perimetro invece:

P=\ell\times 4= 14\times 4= 56\,\,cm

A questo punto possiamo calcolare la superficie laterale della piramide

S_{lat_2}= S_{tot}- S_{tot_1}+ A_{b_2}=2204-1700+196=700\,\,cm^2

Possiamo calcolare l'apotema con le formule inverse:

a=\frac{2\times S_{lat}}{P}= \frac{2\times 700}{56}=25\,\, cm

Possiamo ora calcolare l'altezza della piramide utilizzando il teorema di pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per ipotenusa l'apotema e per cateto il semilato:

h=\sqrt{a^2-\left(\frac{\ell}{2}\right)^2}=\sqrt{25^2-7^2}= 24\,\,cm

Abbiamo l'altezza possiamo calcolare il volume della piramide:

V_2= \frac{A_b\times h}{3}=\frac{196\times 24}{3}=1568\,\, cm^3

Il volume totale è dato dalla somma dei volumi:

V_{tot}=V_1+V_2= 3000+1568=4568\,\, cm^3
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094
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