Area totale di piramide rettangolare regolare e parallelepipedo rettangolo

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#10956
avt
bibo
Punto
Per favore potreste dirmi qual è il procedimento per calcolare la superficie totale di un solido con una piramide e un parallelepipedo rettangolo? Non ho idea di come fare...

Un parallelepipedo rettangolo e una piramide rettangolare quadrangolare hanno area totale uguale. Sapendo che lo spigolo di base e lo spigolo laterale della piramide misurano rispettivamente 30 cm e 39 cm e che la base del parallelepipedo ha l'area di 216 cm quadrati e una dimensione di 3 mezzi dell'altra, calcola la misura della terza dimensione del parallelepipedo.
#10958
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao bibo benvenuto nel forum di YouMath!! emt
Iniziamo subito: ti suggerisco di tenere a portata di mano le formule della piramide, ci serviranno...

S_(t_(par)) = S_(t_(pir)) ; s_(base_(pir)) = 30 , , cm ; sp_(lat) = 39 , , cm ; A_(base_(par)) = 216 , , cm^2 ; d_1 = (3)/(2)d_2 ; d_3 = ?

Concentriamoci sulla piramide di cui conosciamo lo spigolo di base, che vale 30 cm, e l'altezza, che vale 39 cm. Poiché il poligono di base della piramide è un quadrato allora possiamo calcolare l'area:

A_(base , ,pir) = s_(base , ,pir)^2 = 30^2 = 900 , , cm^

Il nostro scopo è quello di determinare la superficie totale, ma ci mancano il perimetro di base e l'apotema:

Il perimetro è facile da trovare, possiamo usare le formule del quadrato:

P = s_(base , , pir)×4 = 30×4 = 120 , , cm

Ci manca l'apotema della piramide, ma non ci preoccupiamo, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateti lo spigolo laterale della piramide e metà spigolo di base:

a = √(sp_(lat)^2-((s_(base , , pir))/(2))^2) = √(39^2-15^2) = 36 , , cm

Possiamo ora calcolare l'area della superficie laterale:

S_(L) = (P×a)/(2) = (120×4):2 = 240 , , cm^2

La superficie totale è :

S_(T) = S_L+A_(base , , pir) = 240+900 = 1140 , , cm^2

Sappiamo che l'area della superficie totale della piramide è uguale a quella del parallelepipedo rettangolo, teniamolo a mente, è un informazione preziosa.

Concentriamoci ora sul parallelepipedo, di cui conosciamo l'area di base.

A_(base , , par) = 216 , , cm^2

Inoltre sappiamo che:

d_1 = (3)/(2)d_2

Dividiamo l'area di base in 3×2 = 6 parti uguali, così da ottenere l'area del quadrato unità, di cui vogliamo conoscere un lato:

A_Q = 216:6 = 36 , , cm^2

u = √(A_Q) = 6 , , cm

A questo punto abbiamo che:

d_1 = u×3 = 6×3 = 18 , , cm

d_2 = u×2 = 6×2 = 12 , , cm

Grazie a questi dati possiamo calcolare il perimetro di base:

P = 2×(d_1+d_2) = 2×30 = 60 , , cm

Ci manca da determinare la terza dimensione parallelepipedo, per trovarla abbiamo bisogno della superficie laterale:

S_(laterale , , par) = S_(T)-2×A_(base , , par) =

= 1140-2×216 = 708 , , cm^2

Per le formule inverse sappiamo che:

d_3 = S_(laterale , , par): P = 708: 60 = 11.8 , , cm

Finito emt
Ringraziano: Pi Greco
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