Superficie laterale di due prismi con triangolo rettangolo

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Superficie laterale di due prismi con triangolo rettangolo #10833

avt
ANTO87
Punto
Ciao mi aiutate con un esercizio sul prisma con un triangolo rettangolo come base?

Un prisma retto P è alto 36 cm ed ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti sono rispettivamente uguali ai 5/9 ed ai 7/12 dell'altezza del prisma. Un prisma retto P1 è equivalente a P, è alto 35 cm ed ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti sono proporzionali ai numeri 3 e 4. Calcola l'area della superficie laterale dei due prismi.

Grazie! Mi risulta difficile...
 
 

Superficie laterale di due prismi con triangolo rettangolo #10836

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao ANTO87

iniziamo con i dati: tieni a portata le formule sul prisma triangolare e sul triangolo rettangolo.

\begin{cases}h_{P}=36\,\, cm\\ c_{1_P}= \frac{5}{9} h_P\\ c_{2_P}= \frac{7}{12} h_P\\ V_{P}=V_{P_1}\\ h_{P_1}= 35\,\, cm\\ c_{1_{P_1}}:c_{2_{P_1}}= 3:4\\ S_{laterale_P}=?\\ S_{laterale_{P_1}}=?\end{cases}

Per prima cosa concentriamoci sul primo prisma, di cui conosciamo l'altezza e con la quale possiamo calcolare i cateti del triangolo rettangolo di base:

c_{1_P}= \frac{5}{9}\times h_P= (36\times 5):9= 20\,\, cm

c_{2_P}= \frac{7}{12}\times h_P= (36\times 7):12= 21\,\, cm

Conoscendo i cateti possiamo conoscere anche l'ipotenusa del triangolo di base, grazie al teorema di Pitagora:

i=\sqrt{c_{1_P}^2+ c_{2_P}^2}=\sqrt{20^2+21^2}=29\,\, cm

grazie alle informazioni ottenute possiamo calcolare il volume del primo prisma e l'area della superficie laterale:

V= A_b\times h_P=

= \frac{c_{1_p}\times c_{2_P}}{2}\times h_P=

=\frac{20\times 21}{2}\times 36=7560\,\, cm^3

S_{laterale_P}=P_{base}\times h_P

Dove il perimetro di base è:

P_{base}=c_{1_P}+c_{2_P}+ h_P= 20+21+29=70\,\, cm

dunque:

S_{laterale_P}=70\times 36=2520\,\, cm^2

Del secondo prisma conosciamo il volume (è uguale al volume del primo prisma) e l'altezza, con questi dati possiamo calcolare l'area di base:

A_{b_{P_1}}=\frac{V_{P_1}}{h_{P_1}}=\frac{7560}{35}=216\,\, cm^2

Inoltre sappiamo che \frac{c_{1_{P_1}}}{c_{2_{P_1}}}=\frac{3}{4}

A questo punto moltiplichiamo per 2 l'area di base, in questo modo avremo l'area del rettangolo che ha per dimensioni i cateti del triangolo di base:

A_{rettangolo}= 2\times A_{b_{P_1}}= 2\times 216= 432\,\, cm^2

Se dividiamo tale area per 3\times 4=12 avremo l'area di un quadrato (detto quadrato unità) di cui vogliamo conoscere il lato u:

u=\sqrt{A_{rettangolo}:12}= \sqrt{432:12}=\sqrt{36}=6\,\, cm

di conseguenza:

c_{1_{P_1}}= u\times 3= 6\times 3= 18\,\, cm

c_{2_{P_1}}= u\times 4= 6\times 4= 24\,\, cm

Abbiamo i cateti del triangolo rettangolo di base, ci manca l'ipotenusa che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora:

i=\sqrt{c_{1_{P_1}}^2+c_{2_{P_1}}^2}= \sqrt{18^2+24^2}=30\,\,cm

Calcoliamo il perimetro di base:

P_{base_1}= c_{1_{P_1}}+c_{2_{P_1}}+i= 18+24+30= 72\,\, cm

Possiamo a questo punto calcolare la superficie laterale:

S_{laterale_{P_1}}= P_{base_1}\times h_{P_1}= 72\times 35=2520\,\, cm^2
Ringraziano: Pi Greco, ANTO87
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Os