Problemi sulla piramide qualunque

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Problemi sulla piramide qualunque #10730

avt
Nello
Cerchio
Buongiorno! Mi aiutate non riesco proprio a capire come svolgere questi problemi sulle piramidi triangolari (a volte con triangoli rettangoli e con la formula di Erone).

1) Calcola l'area della superficie laterale di una piramide triangolare VABC sapendo che AB=53 CM, BC=35 CM, CA= 60 CM, VA= 45 CM, AVB=BVC=90°.

(Dal triangolo rettangolo AVB trova VB e da BVC trova VC. L'area di AVC si trova applicando Erone).

Il risultato del libro è (630+294+378)cm^2 = 1302 cm^2.

2) Calcola l'area della superficie laterale di una piramide triangolare VABC sapendo che AB=24 CM, BC=13 CM, CA=29 CM, CV=21 CM, AV=BV e CVA=90°.

(Applicare la formula di Erone solo a BCV perché ABV è isoscele e CVA è un triangolo rettangolo)

Qui il risultato è 528 cm^2.

3) Calcola l'area della superficie laterale di una piramide triangolare VABC sapendo che AB=16 cm, AC=BC=25 cm, AV=BV=17 cm e VC=12 cm.

(AVB è un triangolo isoscele e che AVC e BVC sono triangoli uguali)

Qui il risultato è 300 cm^2.

Spero in un vostro aiuto,
grazie!
 
 

Re: Problemi sulla piramide qualunque #10737

avt
Omega
Amministratore
Ciao Nello,

comincio con il primo dei tre esercizi: disegna la figura e segui il mio ragionamento.

Consideriamo il triangolo rettangolo AVB con l'angolo retto in V, di cui conosciamo l'ipotenusa AB=35\ cm e la misura del cateto AV=45\ cm. Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare la misura del restante cateto

VB=\sqrt{AB^2-VA^2}=\sqrt{784}=28\ cm

Passiamo a considerare il triangolo CVB rettangolo in V, e calcoliamo la misura del cateto VC sempre con il teorema di Pitagora

VC=\sqrt{CB^2-VB^2}=\sqrt{441}=21\ cm

A questo punto conosciamo la misura di tutti i lati di ciascuno dei tre triangoli VAB,VBC,VCA, quindi possiamo calcolare l'area di ciascuno dei tre triangoli con la formula di Erone

A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

dove a,b,c indicano le misure dei tre lati e p il semiperimetro

p=\frac{a+b+c}{2}

Abbiamo:

\\ p_{VBC}=\frac{21+28+35}{2}=42\ cm\\ \\ A_{VBC}=\sqrt{42(42-21)(42-28)(42-35)}=\sqrt{86436}=294\ cm^2\\ \\ \\ p_{VAB}=\frac{28+45+53}{2}=63\ cm\\ \\ A_{VBC}=\sqrt{63(63-28)(63-45)(63-53)}=\sqrt{396900}=630\ cm^2\\ \\ \\ p_{VCA}=\frac{21+45+60}{2}=63\ cm\\ \\ A_{VCA}=\sqrt{63(63-60)(63-45)(63-21)}=\sqrt{142884}=378\ cm^2

L'area della superficie laterale della piramide è dunque data dalla somma delle tre aree

S_{lat}=A_{VBC}+A_{VAB}+A_{VCA}=294+630+378=1302\ cm^2
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit

Re: Problemi sulla piramide qualunque #10745

avt
Omega
Amministratore
Nel frattempo, risolviamo il secondo esercizio. Same as above, disegna la figura e segui il ragionamento.

In verità, il ragionamento da applicare non è nulla di particolare: abbiamo tutte le misure degli spigoli della piramide e dobbiamo calcolare l'area della superficie laterale, che è somma delle aree dei tre triangoli

S_{lat}=A_{VAC}+A_{VAB}+A_{VCB}

dove le tre aree si calcolano, neanche a farlo apposta, con la formula di Erone. Non mi metto qui a scrivere i (tre) passaggi perché si tratta veramente solo di sostituire i valori nella formula e usare la calcolatrice.

Discorso del tutto analogo (\simeq identico) per il terzo esercizio.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit
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Os