Determinare ellisse dai semiassi e area del quadrilatero con le tangenti

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Determinare ellisse dai semiassi e area del quadrilatero con le tangenti #9602

avt
dav09
Punto
Buongiorno, non riesco a risolvere questo esercizio sull'ellisse, qualcuno mi spiega come risolverlo?

Dopo aver scritto l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull'asse delle ascisse di semiassi 3 e 2 considera le rette ad essa tangenti che appartengono ai fasci di equazione y=\frac{1}{3}x+k e y=-\frac{1}{3}x+h.

Calcola l’area del quadrilatero formato da tali tangenti. Sai dire di che natura è il quadrilatero?

Grazie 1000.
 
 

Determinare ellisse dai semiassi e area del quadrilatero con le tangenti #9624

avt
frank094
Maestro
Ciao Dav09, in base alle informazioni date dal problema troviamo che il semiasse a vale 3 mentre il semiasse b vale 2. Dall'equazione generale dell'ellisse (vedi il formulario con le formule sull'ellisse)

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

troviamo facilmente che

\gamma: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

Per trovare le rette del primo fascio che sono tangenti all'ellisse \gamma possiamo mettere le due equazioni a sistema:

\left\{  \begin{array}{l l} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\\ y = \frac{1}{3}x +k \end{array} \right.

Da cui

\left\{  \begin{array}{l l} 4x^2 + 9\left( \frac{1}{3}x +k \right)^2 = 36 \\ y = \frac{1}{3}x +k \end{array} \right.

Ricaviamoci i valori di k per cui le rette sono tangenti calcolando il delta della prima equazione e ponendolo uguale a zero..

4x^2 + 9\left( \frac{1}{9}x^2 +k^2 + \frac{2}{3} kx \right) = 36

Svolgiamo i calcoli..

4x^2 + x^2 + 9k^2 + 6 kx = 36

Da cui si trova l'equazione di secondo grado..

5x^2 + 6kx + 9(k^2 - 4) = 0

Calcoliamo adesso il delta della equazione ed imponiamolo uguale a zero:

\Delta = 36k^2 - 180(k^2 -4) = 0

Da cui

144k^2 = 720 \implies k = \pm \sqrt{5}

Le rette sono dunque rispettivamente

r_1: y =\frac{1}{3}x + \sqrt{5}

r_2: y =\frac{1}{3}x - \sqrt{5}

Per l'altro fascio si procede in maniera del tutto analoga.. si ha infatti

\left\{  \begin{array}{l l} 4x^2 + 9\left( -\frac{1}{3}x +h \right)^2 = 36 \\ y = -\frac{1}{3}x +h \end{array} \right.

Di qui la semplice equazione di secondo grado

4x^2 + x^2 + 9h^2 - 6 hx = 36

Da cui

5x^2 - 6 hx + 9(h^2 - 4) = 0

Cambia solo il segno del termine centrale che però va elevato al quadrato.. ne risulta che i due valori sono uguali a quelli del k. Si trovano le due rette

r_1: y =-\frac{1}{3}x + \sqrt{5}

r_2: y =-\frac{1}{3}x - \sqrt{5}

Il quadrilatero che vien fuori è chiaramente un deltoide perciò calcoliamo l'area come metà del prodotto tra le diagonali o, in alternativa, la distanza retta-retta tra tre delle quattro rette ( facendo bene attenzione a quali ). Si arriva a

A = 30

Tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os