Dimostrazione: un triangolo con bisettrice e mediana cogruenti è isoscele

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Dimostrazione: un triangolo con bisettrice e mediana cogruenti è isoscele #7800

avt
elena85
Punto
Ho un problema di geometria sintetica che non sono in grado di risolvere: devo dimostrare che se in un triangolo la bisettrice e la mediana coincidono allora il triangolo è isoscele.

Se in un triangolo ABC il segmento AM è sia bisettrice che mediana, allora il triangolo è isoscele.

Grazie.
 
 

Dimostrazione: un triangolo con bisettrice e mediana cogruenti è isoscele #7821

avt
Omega
Amministratore
Vogliamo dimostrare che:

un triangolo ABC tale per cui la bisettrice AM è anche mediana è un triangolo isoscele.


Dimostrazione

Scriviamo per bene le ipotesi: poiché AM è la bisettrice dell'angolo \widehat{BAC}, allora \widehat{BAM}\ \mbox{e} \ \widehat{MAC} sono angoli congruenti.

Poiché AM è una mediana del triangolo, M è il punto medio del segmento BC, per cui AM\ \mbox{e}\ MB sono congruenti.

Usiamo il teorema della bisettrice, il quale afferma che la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati e consente di scrivere quindi la proporzione

BM:MC=AB:AC

Poiché BM\ \mbox{e} \ MC sono congruenti, il primo rapporto è pari a 1

1=AB:AC

Da questa uguaglianza segue che AB=AC per cui il triangolo è isoscele.
Ringraziano: Ifrit

Dimostrazione: un triangolo con bisettrice e mediana cogruenti è isoscele #7851

avt
elena85
Punto
Perfetto! Grazie mille e complimenti per il vostro lavoro.
Ringraziano: Omega
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Os