Progressioni aritmetiche e trapezio isoscele

Salve, chiedo aiuto per la risoluzione di un problema sulle progressioni aritmetiche in un trapezio isoscele, mi ha messo un po' di difficoltà.

Le lunghezze della base minore, del lato obliquo, e della base maggiore di un trapezio isoscele sono, in quest'ordine, in progressione aritmetica. Il perimetro del trapezio è 20 cm e l'altezza è lunga 4 cm; determina le lunghezze del trapezio.

Soluzioni:

- base maggiore = 8 cm

- base minore = 2 cm

- lato obliquo = 5 cm

Spero che possiate aiutarmi, grazie a tutti coloro che interverranno.

Ciao GhGiov

Iniziamo col disegnarci un trapezio isoscele (click!)



Poiché i risultati riportati dal libro dipendono da come sono state disposte le lettere noi indichiamo con:

la misura della base maggiore;
la misura della base minore;
la misura dell'altezza e
la misura del lato obliquo.

I dati del problema ci dicono che:



e la misura del perimetro:



Sappiamo inoltre che, base minore (b), lato obliquo (L) e base maggiore (B) formano, nell'ordine una progressione aritmetica in cui, i generale, i termini sono legati dalla formula:



Come applichiamo il tutto al problema? Sapendo che gli elementi sopra citati formano la progressione nell'ordine in cui sono scritti, avremo che:

la base minore b sarà il primo termine di tale progressione ;

il lato obliquo L sarà il secondo termine e

la base maggiore B sarà il terzo

ovvero valgono:





Sostituendo il valore di L (ottenuto nella seconda equazione) nella prima, si ha:



Sostituendo tali espressioni nella formula del perimetro abbiamo:



da cui:



ovvero



Attenzione ora!



era proprio la misura del lato obliquo! Abbiamo pertanto che



da cui possiamo ricavare da che:



Ora, tracciando le due altezze del trapezio isoscele si vengono a formare due triangoli rettangoli di cui:

l'ipotenusa coincide con il lato del trapezio che sappiamo essere uguale a:



mentre i due cateti sono uno l'altezza (che sappiamo misurare 4 cm) e l'altro è dato dalla differenza tra le due basi diviso 2.

Essendo, ora, la base maggiore data da:



Troviamo che la misura di questo cateto la possiamo esprimere come:



Applicando ora il teorema di Pitagora abbiamo:



da cui:



A questo punto è immediato concludere