Progressioni aritmetiche e trapezio isoscele
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#70310
![]() GhGiov Punto | Salve, chiedo aiuto per la risoluzione di un problema sulle progressioni aritmetiche in un trapezio isoscele, mi ha messo un po' di difficoltà. Le lunghezze della base minore, del lato obliquo, e della base maggiore di un trapezio isoscele sono, in quest'ordine, in progressione aritmetica. Il perimetro del trapezio è 20 cm e l'altezza è lunga 4 cm; determina le lunghezze del trapezio. Soluzioni: - base maggiore = 8 cm - base minore = 2 cm - lato obliquo = 5 cm Spero che possiate aiutarmi, grazie a tutti coloro che interverranno. |
#70324
![]() Galois Amministratore | Ciao GhGiov ![]() Iniziamo col disegnarci un trapezio isoscele (click!) ![]() Poiché i risultati riportati dal libro dipendono da come sono state disposte le lettere noi indichiamo con: I dati del problema ci dicono che: e la misura del perimetro: ![]() Sappiamo inoltre che, base minore (b), lato obliquo (L) e base maggiore (B) formano, nell'ordine una progressione aritmetica in cui, i generale, i termini sono legati dalla formula: Come applichiamo il tutto al problema? Sapendo che gli elementi sopra citati formano la progressione nell'ordine in cui sono scritti, avremo che: la base minore b sarà il primo termine di tale progressione il lato obliquo L sarà il secondo termine la base maggiore B sarà il terzo ovvero valgono: Sostituendo il valore di L (ottenuto nella seconda equazione) nella prima, si ha: Sostituendo tali espressioni nella formula del perimetro abbiamo: ![]() da cui: ovvero Attenzione ora! era proprio la misura del lato obliquo! Abbiamo pertanto che da cui possiamo ricavare da Ora, tracciando le due altezze del trapezio isoscele si vengono a formare due triangoli rettangoli di cui: l'ipotenusa coincide con il lato del trapezio che sappiamo essere uguale a: mentre i due cateti sono uno l'altezza (che sappiamo misurare 4 cm) e l'altro è dato dalla differenza tra le due basi diviso 2. Essendo, ora, la base maggiore data da: Troviamo che la misura di questo cateto la possiamo esprimere come: ![]() Applicando ora il teorema di Pitagora abbiamo: da cui: A questo punto è immediato concludere ![]() |
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, GhGiov |
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