Problema di primo grado con quadrilatero inscritto

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Problema di primo grado con quadrilatero inscritto #65996

avt
alex11
Punto
Salve a tutti, ho questo problema di Geometria Euclidea di primo grado con un quadrilatero inscritto in una circonferenza che dovrei risolvere con le equazioni.

Dice: in una circonferenza di centro O e diametro AB, una corda MN è perpendicolare al diametro ed incontra il raggio OA nel punto H. Il segmento OH misura h e la somma di MH e AH misura 2h. Trovare raggio della circonferenza, perimetro ed area del quadrilatero AMBN.


Vi dico subito che si tratta di un compito facoltativo che sto provando a fare e che esula da quanto mi è dato a scuola. Forse ho sopravvalutato le mie capacità.

Ho impostato il grafico e mi risulterebbe una specie di rombo. Dico "una specie" perché le diagonali non sarebbero divise a metà, ho provato ad usare Euclide, ponendo AH=x, come spesso faccio con figure iscritte in una circonferenza ma mi blocco subito.

Grazie anticipatamente
 
 

Problema di primo grado con quadrilatero inscritto #66044

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alex11 emt

Prima di cominciare confermo che il disegno consiste in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, formato da due triangoli opposti al diametro AB che sono AMB e ANB. Naturalmente non si tratta di un rombo

Cercherò di spiegarti come procedere usando gli strumenti più semplici possibili della Geometria Piana e dell'Algebra. emt

Prima osservazione: è ovvio che i due triangoli AMB,\ ANB sono triangoli rettangoli in quanto inscritti nelle rispettive semicirconferenze.

Seconda osservazione: è ovvio che essi sono triangoli congruenti. Ricorda che vale il teorema della corda perpendicolare: ogni corda perpendicolare ad un diametro di una circonferenza è divisa da esso in due parti uguali, inoltre il diametro coincide con l'asse di simmetria della corda.

Abbiamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno: AMB. Consideriamo poi l'altezza MH relativa all'ipotenusa. Scriviamo i dati in nostro possesso

\begin{cases}OH=h\\ MH+AH=2h\\ AO=?\\ 2p_{AMBN}=?\\ S_{AMBN}=?\end{cases}

La cosa più naturale da fare è scrivere la relazione che deriva dal secondo teorema di Euclide

AH:MH=MH:BH

grazie ad una famosissima proprietà delle proporzioni passiamo a

MH^2=AH\cdot BH\ \ \ (\bullet)

Riusciamo ad esprimere MH,\ AH,\ BH solamente in termini di h,\ r ? Se sì, possiamo sostituirne le espressioni nella relazione del secondo teorema di Euclide, trattare h come un parametro e r come un'incognita.

In quest'ottica, non è difficile emt

BH=BO+OH=r+h

AH=AO-OH=r-h

Per quanto riguarda MH, usiamo la relazione fornitaci come dato

AH+MH=2h\ \to\ MH=2h-AH

e per quanto visto poco sopra, per sostituzione

MH=2h-(r-h)=2h-r+h=3h-r

Ci siamo: possiamo sostituire le espressioni di AH,\ BH,\ MH nella relazione (\bullet)

(3h-r)^2=(r-h)(r+h)

sviluppiamo il quadrato del binomio a primo membro e nel secondo usiamo la regola per la differenza di due quadrati

9h^2-6hr+r^2=r^2-h^2

6hr=10h^2

dividiamo entrambi i membri per 6h. Possiamo farlo perché h indica la misura di un segmento, deve essere positiva e in particolare h\neq 0

r=\frac{5}{3}h

Ora risalire alle misure di AH,\ BH,\ MH è semplicissimo

BH=r+h=\frac{8}{3}h

AH=r-h=\frac{2}{3}h

MH=3h-r=\frac{4}{3}h

inoltre possiamo calcolare la misura del'ipotenusa AB del triangolo rettangolo AMB

AB=2r=\frac{10}{3}h

e con il teorema di Pitagora le misure dei due cateti AM,\ MB

AM=\sqrt{AH^2+MH^2}

BM=\sqrt{BH^2+MH^2}

e via di seguito l'area del triangolo AMB come semiprodotto di ipotenusa per altezza relativa all'ipotenusa

S_{AMB}=\frac{AB\cdot MH}{2}

poi l'area del quadrilatero inscritto

S_{AMBN}=2\cdot S_{AMB}

ed infine il perimetro

2p_{AMBN}=AM+MB+BN+AN=2AM+2MB

sono calcoli semplici, li lascio a te. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, alex11

Problema di primo grado con quadrilatero inscritto #66046

avt
alex11
Punto
Innanzitutto grazie mille...mi rincuora che non fosse così semplice, credo di aver capito!
Ringraziano: Omega
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Os