Problema di primo grado con quadrilatero inscritto

Salve a tutti, ho questo problema di Geometria Euclidea di primo grado con un quadrilatero inscritto in una circonferenza che dovrei risolvere con le equazioni.

Dice: in una circonferenza di centro O e diametro AB, una corda MN è perpendicolare al diametro ed incontra il raggio OA nel punto H. Il segmento OH misura h e la somma di MH e AH misura 2h. Trovare raggio della circonferenza, perimetro ed area del quadrilatero AMBN.


Vi dico subito che si tratta di un compito facoltativo che sto provando a fare e che esula da quanto mi è dato a scuola. Forse ho sopravvalutato le mie capacità.

Ho impostato il grafico e mi risulterebbe una specie di rombo. Dico "una specie" perché le diagonali non sarebbero divise a metà, ho provato ad usare Euclide, ponendo AH=x, come spesso faccio con figure iscritte in una circonferenza ma mi blocco subito.

Grazie anticipatamente

Ciao Alex11

Prima di cominciare confermo che il disegno consiste in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, formato da due triangoli opposti al diametro che sono e . Naturalmente non si tratta di un rombo

Cercherò di spiegarti come procedere usando gli strumenti più semplici possibili della Geometria Piana e dell'Algebra.

Prima osservazione: è ovvio che i due triangoli sono triangoli rettangoli in quanto inscritti nelle rispettive semicirconferenze.

Seconda osservazione: è ovvio che essi sono triangoli congruenti. Ricorda che vale il teorema della corda perpendicolare: ogni corda perpendicolare ad un diametro di una circonferenza è divisa da esso in due parti uguali, inoltre il diametro coincide con l'asse di simmetria della corda.

Abbiamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno: . Consideriamo poi l'altezza relativa all'ipotenusa. Scriviamo i dati in nostro possesso



La cosa più naturale da fare è scrivere la relazione che deriva dal secondo teorema di Euclide



grazie ad una famosissima proprietà delle proporzioni passiamo a



Riusciamo ad esprimere solamente in termini di ? Se sì, possiamo sostituirne le espressioni nella relazione del secondo teorema di Euclide, trattare come un parametro e come un'incognita.

In quest'ottica, non è difficile





Per quanto riguarda , usiamo la relazione fornitaci come dato



e per quanto visto poco sopra, per sostituzione



Ci siamo: possiamo sostituire le espressioni di nella relazione



sviluppiamo il quadrato del binomio a primo membro e nel secondo usiamo la regola per la differenza di due quadrati





dividiamo entrambi i membri per . Possiamo farlo perché indica la misura di un segmento, deve essere positiva e in particolare



Ora risalire alle misure di è semplicissimo







inoltre possiamo calcolare la misura del'ipotenusa del triangolo rettangolo



e con il teorema di Pitagora le misure dei due cateti





e via di seguito l'area del triangolo come semiprodotto di ipotenusa per altezza relativa all'ipotenusa



poi l'area del quadrilatero inscritto



ed infine il perimetro



sono calcoli semplici, li lascio a te.

Innanzitutto grazie mille...mi rincuora che non fosse così semplice, credo di aver capito!