Dimostrazione con rette parallele e mediana di un triangolo

Salve ragazzi mi aiutereste con una dimostrazione di Geometria sulle rette parallele e sulla mediana di un triangolo? Il problema mi dice:

dato un triangolo ABC, prolunga la mediana AM di un segmento MD congruente AM. Dimostra che BD // AC.


La mia dimostrazione è la seguente: considero i triangoli AMC e BMD, essi hanno:

BM congruente MC per ipotesi
AM congruente MD per ipotesi
Angolo BMD congruente angolo AMC perché opposti al vertice

Quindi per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

Ora come dimostro che BD // AC ? Non riesco a proseguire.

Vi ringrazio per l'aiuto che mi date.

Ciao marty98

Sei vicinissima alla soluzione! Manca solo un ultimo passaggio

Rappresentiamo graficamente la soluzione. Disegniamoci quindi un triangolo qualsiasi così come descritto dal problema



Per ipotesi sappiamo che:

in quanto è mediana

per ipotesi.

Dobbiamo dimostrare che

Come hai ben detto, i triangoli e sono congruenti per il primo criterio di congruenza, infatti hanno:

per ipotesi e

in quanto angoli opposti al vertice.

Ne consegue che tutti gli elementi omologhi sono uguali! In particolare quindi

e, gli angoli:



sono congruenti, in quanto omologhi. Sono infatti entrambi compresi tra gli stessi lati congruenti.

Ora, quei due angoli altro non sono se non due angoli alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale, dove le rette sono:

e e la trasversale è .

Abbiamo quindi la tesi