Dimostrazione con circonferenze secanti

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Dimostrazione con circonferenze secanti #64283

avt
broderk
Punto
Vorrei sapere se ho svolto bene questa dimostrazione sulle circonferenze secanti: due circonferenze γ1 e γ2 sono secanti in A e B. Da un punto C esterno a γ1 e γ2 e appartenente alla retta AB, conduci due rette r e s tali che r intersechi γ1 in P e in Q e s intersechi γ2 in R e in S. Dimostra che r(CP;CQ) := r(CR;CS).


Svolgimento: la tesi che devo dimostrare è

CP\cdot CR \sim CR\cdot CS

Dimostrazione: per il teorema delle secanti condotte da un punto esterno alla circonferenza:

CQ: CB = CA : CP

da cui

CB\cdot CA = CP\cdot CQ

Poi considero

CS : CB = CA : CR

da cui

CB\cdot CA = CR\cdot CS

Quindi per transitività:

CP\cdot CQ = CR\cdot CS

Grazie:)
 
 

Dimostrazione con circonferenze secanti #64287

avt
Galois
Coamministratore
Ciao broderk emt

Il procedimento che proponi mi sembra corretto.. Tuttavia fai un po' di confusione con le lettere. Rivediamolo quindi insieme emt

Facciamoci un disegnino:

circonferenze secanti


Dobbiamo dimostrare che CQ \cdot CP = CS \cdot CR

Consideriamo la circonferenza \gamma_1 (quella a destra) e le rette due rette ad essa secanti, ovvero:

la retta per i punti C, P e Q e la retta per i punti A e B

Per il teorema delle secanti (*) possiamo scrivere la proporzione:

CQ:CB=CA:CP

da cui, per la proprietà fondamentale delle proporzioni abbiamo:

1) \ CB \cdot CA = CQ \cdot CP

Stesso ragionamento per la circonferenza \gamma_2 con le sue due secanti:

retta per A e per B, retta per i tre punti C, R ed S; sempre per il Teorema delle secanti (*) possiamo scrivere che:

CS:CB=CA:CR

e quindi

2) \ CB \cdot CA = CS \cdot CR

Guardiamo ora 1) e 2). In entrambe compare il termine CB \cdot CA.

Quindi per la proprietà transitiva, possiamo scrivere:

CQ \cdot CP = CS \cdot CR

che è quanto si voleva provare emt

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(*) Teorema delle secanti: se da un punto esterno si tracciano due secanti ad una stessa circonferenza allora un'intera secante e la sua parte esterna formano i medi, l'altra intera secante e la sua parte esterna formano gli estremi di una proporzione.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os