Dimostrazione con trapezio isoscele circoscritto in una circonferenza

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Dimostrazione con trapezio isoscele circoscritto in una circonferenza #64234

avt
broderk
Punto
Salve, devo fare una dimostrazione con un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza e ci ho provato, vorrei sapere se ho svolto in modo corretto la dimostrazione.

Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza. Dimostra che l'altezza è media proporzionale tra le due basi.

Tentativo di svolgimento:

ABCD trapezio isoscele con basi AB\parallel CD, circoscritto alla circonferenza di centro O.

Sia T il punto in cui il lato AD è tangente alla circonferenza. Congiungo il punto O con A e con D.

Gli angoli B\hat{A}D e A\hat{D}C sono supplementari; allora D\hat{A}O,\ A\hat{D}O sono complementari, e il triangolo ADO è rettangolo in O.

Siccome OT è perpendicolare a AD, per il 2° teorema di Euclide

OT^2=AT\cdot DT

quindi

(2OT)^2=(2AT)\cdot (2DT)=AB\cdot CD

Ma 2OT è il diametro della circonferenza, congruente all'altezza del trapezio.

Grazie in anticipo!
 
 

Dimostrazione con trapezio isoscele circoscritto in una circonferenza #64247

avt
Galois
Amministratore
Ciao broderk,

ci sei quasi... La strada che hai intrapreso è quella corretta, ma chiarire meglio alcuni concetti e soprattutto concludere come si deve la dimostrazione.

Partiamo dal disegno

trapezio isoscele circoscritto

Cioè abbiamo un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza.

Dobbiamo dimostrare che l'altezza è medio proporzionale tra la base maggiore e la base minore, cioè che sussiste la proporzione:

AB:HK=HK:CD

Ora, come ben dici congiungiamo il centro della circonferenza con i punti A e D. Poi affermi che il triangolo AOD è un triangolo rettangolo in O il che è corretto, ma la motivazione che dai:

Gli angoli BAD e ADC sono supplementari; allora DAO e ADO sono complementari, e il triangolo ADO è rettangolo in O.

non è sufficiente!

Bisogna invece dire che:

per il teorema delle tangenti (*) DO è bisettrice dell'angolo CDA e quindi gli angoli TDO e CDO sono uguali e AO è bisettrice dell'angolo DAB e di conseguenza

TAO = OAB.

Ora, essendo CDA e DAB due angoli supplementari, si ha:

CDA+DAB=180^{\circ}

e quindi:

2TDO + 2TAO = 180^{\circ}

da cui

TDO + TAO=90^{\circ}

ovvero i due angoli alla base del triangolo sono complementari. Ricordando infine che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° possiamo concludere che l'angolo AOD è un angolo retto.

Bene! Ora, essendo T il punto di tangenza, il segmento OT è perpendicolare ad AD, ovvero OT è altezza per il triangolo DOA.

Per il secondo Teorema di Euclide abbiamo che:

AT:OT=OT:TD

Ora, sempre per il Teorema delle tangenti (*) abbiamo che:

AT=AK \ \mbox{e} \ TD=DH

Sostituendo nella proporzione precedente:

AK:OT=OT:DH

Moltiplicando tutto per 2:

2AK:2OT=2OT:DH

Ora:

2AK=AB, \ 2DH=CD, \ 2OT=HK

e quindi:

AB:HK=HK:CD

che è quanto volevamo provare.


(*) I segmenti di tangente, condotti da un punto esterno a una circonferenza e compresi tra tale punto e quelli di contatto, sono congruenti. La semiretta che congiunge il punto da cui escono le tangenti con il centro della circonferenza è bisettrice sia dell’angolo delle tangenti
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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