Dimostrazione con trapezio isoscele circoscritto in una circonferenza

Salve, devo fare una dimostrazione con un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza e ci ho provato, vorrei sapere se ho svolto in modo corretto la dimostrazione.

Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza. Dimostra che l'altezza è media proporzionale tra le due basi.

Tentativo di svolgimento:

trapezio isoscele con basi , circoscritto alla circonferenza di centro .

Sia il punto in cui il lato è tangente alla circonferenza. Congiungo il punto con e con .

Gli angoli e sono supplementari; allora sono complementari, e il triangolo è rettangolo in .

Siccome è perpendicolare a , per il 2° teorema di Euclide



quindi



Ma è il diametro della circonferenza, congruente all'altezza del trapezio.

Grazie in anticipo!

Ciao broderk,

ci sei quasi... La strada che hai intrapreso è quella corretta, ma chiarire meglio alcuni concetti e soprattutto concludere come si deve la dimostrazione.

Partiamo dal disegno


Cioè abbiamo un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza.

Dobbiamo dimostrare che l'altezza è medio proporzionale tra la base maggiore e la base minore, cioè che sussiste la proporzione:



Ora, come ben dici congiungiamo il centro della circonferenza con i punti A e D. Poi affermi che il triangolo AOD è un triangolo rettangolo in O il che è corretto, ma la motivazione che dai:


non è sufficiente!

Bisogna invece dire che:

per il teorema delle tangenti (*) DO è bisettrice dell'angolo CDA e quindi gli angoli TDO e CDO sono uguali e AO è bisettrice dell'angolo DAB e di conseguenza

TAO = OAB.

Ora, essendo CDA e DAB due angoli supplementari, si ha:



e quindi:



da cui



ovvero i due angoli alla base del triangolo sono complementari. Ricordando infine che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° possiamo concludere che l'angolo AOD è un angolo retto.

Bene! Ora, essendo T il punto di tangenza, il segmento OT è perpendicolare ad AD, ovvero OT è altezza per il triangolo DOA.

Per il secondo Teorema di Euclide abbiamo che:



Ora, sempre per il Teorema delle tangenti (*) abbiamo che:



Sostituendo nella proporzione precedente:



Moltiplicando tutto per 2:



Ora:



e quindi:



che è quanto volevamo provare.


(*) I segmenti di tangente, condotti da un punto esterno a una circonferenza e compresi tra tale punto e quelli di contatto, sono congruenti. La semiretta che congiunge il punto da cui escono le tangenti con il centro della circonferenza è bisettrice sia dell’angolo delle tangenti