Perimetro di un triangolo rettangolo col teorema di Euclide

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Perimetro di un triangolo rettangolo col teorema di Euclide #63824

avt
nutella
Punto
Ciao a tutti, volevo proporvi un problema sul teorema di Euclide e sul perimetro di un triangolo rettangolo, in cui mi blocco.

In un triangolo rettangolo la proiezione sull'ipotenusa di un cateto (di lunghezza 120 cm) è 16/25 dell'ipotenusa. Qual è il perimetro del triangolo?


Io ho trovato l'altezza relativa all'ipotenusa AB=x che ho chiamato CH. Tramite il teorema di Euclide e mi risulta \frac{12}{25}x ma non so più come andare avanti dato che oltre all'incognita x (ipotenusa) ho anche quella del perimetro.
 
 

Perimetro di un triangolo rettangolo col teorema di Euclide #63834

avt
Galois
Coamministratore
Ciao nutella emt

Disegniamo un triangolo rettangolo e le proiezioni dei suoi cateti sull'ipotenusa:

problema euclide


Per ipotesi sappiamo che:

AC=120 \ cm

AH = \frac{16}{25} AB

e dobbiamo trovare il perimetro del triangolo.

Come hai ben fatto poniamo la lunghezza dell'ipotenusa uguale ad x, ovvero:

AB=x

Tramite questa imposizione possiamo scrivere:

AH = \frac{16}{25} AB = \frac{16}{25} x

Applichiamo ora il primo teorema di Euclide (il quadrato di un cateto è uguale al prodotto tra ipotenusa e sua proiezione sull'ipotenusa) grazie al quale possiamo scrivere:

AC^2 = AH \cdot AB

sostituendo i valori prima trovati abbiamo:

120^2 = \frac{16}{25}x \cdot x = \frac{16}{25}x^2

da cui

x^2=120^2 \cdot \frac{25}{16}=14400 \cdot \frac{25}{16} = 22500

estraendo la radice quadrata possiamo trovare il valore di

x=AB=\sqrt{22500}=150 \ cm

Trovata l'ipotenusa (AB=150 cm) e conoscendo la misura del cateto (AC=120 cm) possiamo trovare la misura dell'altro cateto BC grazie al Teorema di Pitagora:

BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{150^2 - 120^2}=\sqrt{22500 - 14400}=\sqrt{8100}=90

Quindi il perimetro del triangolo sarà:

2p(ABC)=AB+AC+BC=150+120+90 = 360 \ cm

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, nutella
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Os